Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Tres institutos piden presupuesto de alojamiento en Roma en dos agencias de viajes, que les dan el precio por noche según tipo de habitación: individual, doble y triple.

La primera agencia ofrece los siguientes precios: individual a 65 euros, doble a 85 euros y triple a 104 euros. La segunda agencia oferta la individual a 78 euros, la doble a 83 euros y la triple a 106 euros.

El primer instituto necesita tres habitaciones individuales, quince dobles y dos triples, el segundo dos individuales, doce dobles y cinco triples y el tercer instituto una individual, dieciséis dobles y siete triples.

a) Exprese, mediante una matriz $A$, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz $D$ la demanda de los tres institutos. (1 punto)

b) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto? (1 punto)

c) ¿Existe la inversa de la matriz $D$? ¿Y de la matriz $A$? Justifique las respuestas. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Exprese, mediante una matriz } \boldsymbol{A}\textbf{, los precios de las dos agencias según tipo de habitación y con otra matriz } \boldsymbol{D}\textbf{ la demanda de los tres institutos. (1 punto)}$

En la matriz $A$ ponemos una fila por agencia y una columna por tipo de habitación —individual, doble y triple, en ese orden—, de modo que resulta de dimensión $2\times 3$.

$A= \begin{pmatrix} 65 & 85 & 104 \\ 78 & 83 & 106 \end{pmatrix}$

En la matriz $D$ ponemos una fila por tipo de habitación y una columna por instituto, para que el producto $A\cdot D$ tenga sentido. Es de dimensión $3\times 3$.

$D= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 15 & 12 & 16 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) Mediante operaciones con las matrices anteriores, calcule el precio por noche que cada agencia facilita a los distintos institutos por el total de habitaciones solicitadas. ¿Qué agencia le interesaría a cada instituto? (1 punto)}$

El precio por noche de cada agencia a cada instituto se obtiene multiplicando las dos matrices, porque cada elemento del producto suma los precios de cada tipo de habitación por el número de habitaciones pedidas.

$A\cdot D= \begin{pmatrix} 65 & 85 & 104 \\ 78 & 83 & 106 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 15 & 12 & 16 \\ 2 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

$A\cdot D= \begin{pmatrix} 1\,678 & 1\,670 & 2\,153 \\ 1\,691 & 1\,682 & 2\,148 \end{pmatrix}$

Cada fila es una agencia y cada columna un instituto:

$$	$\text{Instituto 1}$	$\text{Instituto 2}$	$\text{Instituto 3}$
Agencia 1	1678 €	1670 €	2153 €
Agencia 2	1691 €	1682 €	2148 €

Al primer instituto y al segundo les interesa la primera agencia, porque $1\,678<1\,691$ y $1\,670<1\,682$. Al tercer instituto le interesa la segunda agencia, porque $2\,148<2\,153$.

$\textbf{c) ¿Existe la inversa de la matriz } \boldsymbol{D}\textbf{? ¿Y de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{? Justifique las respuestas. (0,5 puntos)}$

Solo las matrices cuadradas con determinante distinto de cero tienen inversa.

La matriz $D$ es cuadrada de orden 3. Calculamos su determinante desarrollando por la primera fila.

$|D|= \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 15 & 12 & 16 \\ 2 & 5 & 7 \end{vmatrix} =3(84-80)-2(105-32)+1(75-24)$

$|D|=12-146+51=-83\neq 0$

Como el determinante no se anula, la matriz $D$ sí tiene inversa.

La matriz $A$ es de dimensión $2\times 3$, es decir, no es cuadrada, así que no tiene inversa: para que exista $A^{-1}$ harían falta los dos productos $A\cdot A^{-1}$ y $A^{-1}\cdot A$, y no pueden dar la misma matriz identidad.