Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

La renta anual de los hogares andaluces, en miles de euros, se distribuye según una ley Normal con desviación típica 5 y media desconocida $\mu$.

a) Si se desea que en el 99 % de las posibles muestras del mismo tamaño, elegidas de entre los hogares andaluces, la media muestral no difiera de la renta media anual poblacional de dichos hogares en más de una unidad, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de las muestras? (1 punto)

b) Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño 100, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria «Renta media anual muestral»? (0,5 puntos)

c) Suponiendo que la renta media anual poblacional de los hogares andaluces es $\mu=24$, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño 100 la renta media anual muestral sea superior a 25? (1 punto)

$\textbf{a) Si se desea que en el 99 \% de las posibles muestras del mismo tamaño, elegidas de entre los hogares andaluces, la media muestral no difiera de la renta media anual poblacional de dichos hogares en más de una unidad, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de las muestras? (1 punto)}$

Que la media muestral no difiera de la media poblacional en más de una unidad significa que el error máximo admisible sea $E\le 1$.

Para un nivel de confianza del 99 % se tiene $1-\alpha=0{,}99$, luego $\alpha/2=0{,}005$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$

Despejamos $n$ de la expresión del error.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le 1 \Rightarrow 2{,}575\cdot\dfrac{5}{\sqrt{n}}\le 1 \Rightarrow \sqrt{n}\ge 12{,}875$

$n\ge 12{,}875^2=165{,}77$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $166$ hogares.

$\textbf{b) Si se consideran muestras de hogares andaluces de tamaño 100, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria «Renta media anual muestral»? (0,5 puntos)}$

Como la población es normal, la media muestral de las muestras de tamaño $n$ sigue la ley

$\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con $\sigma=5$ y $n=100$:

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{5}{\sqrt{100}}=\dfrac{5}{10}=0{,}5$

La renta media anual muestral sigue una distribución $N(\mu\,;\,0{,}5)$, medida en miles de euros.

$\textbf{c) Suponiendo que la renta media anual poblacional de los hogares andaluces es } \boldsymbol{\mu=24}\textbf{, ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra de tamaño 100 la renta media anual muestral sea superior a 25? (1 punto)}$

Con $\mu=24$, la media muestral sigue la ley $\bar{X}\sim N(24\,;\,0{,}5)$. Tipificamos para usar la tabla de la $N(0,1)$.

$P(\bar{X}>25)=P\left(Z>\dfrac{25-24}{0{,}5}\right)=P(Z>2)$



$P(Z>2)=1-P(Z\le 2)=1-0{,}9772=0{,}0228$

La probabilidad de que la renta media anual muestral supere los 25 000 euros es $0{,}0228$.