Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

La vida útil, en años, de las lavadoras de un determinado modelo, se distribuye según una ley Normal de varianza $7{,}84$. En una muestra de 12 lavadoras, la vida útil en años ha sido:

$9{,}5 \quad 9 \quad 10{,}2 \quad 8{,}6 \quad 11{,}4 \quad 10{,}8 \quad 12{,}6 \quad 11 \quad 11{,}8 \quad 14{,}5 \quad 10{,}4 \quad 9{,}8$

a) Con estos datos, determine un intervalo de confianza al 93,5 % para estimar la vida útil media de estas lavadoras. (1,5 puntos)

b) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del 99 %. (1 punto)

$\textbf{a) Con estos datos, determine un intervalo de confianza al 93,5 \% para estimar la vida útil media de estas lavadoras. (1,5 puntos)}$

La población es normal de varianza conocida $\sigma^2=7{,}84$, luego

$\sigma=\sqrt{7{,}84}=2{,}8$

Calculamos la media de la muestra de $n=12$ lavadoras.

$\bar{x}=\dfrac{9{,}5+9+10{,}2+8{,}6+11{,}4+10{,}8+12{,}6+11+11{,}8+14{,}5+10{,}4+9{,}8}{12} =\dfrac{129{,}6}{12}=10{,}8$

Para un nivel de confianza del 93,5 % se tiene $1-\alpha=0{,}935$, luego $\alpha/2=0{,}0325$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}9675 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}85$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=1{,}85\cdot\dfrac{2{,}8}{\sqrt{12}}=1{,}85\cdot 0{,}8083=1{,}4953$

$IC_{93{,}5\%}=(10{,}8-1{,}4953,\ 10{,}8+1{,}4953)=(9{,}305;\ 12{,}295)$



Con una confianza del 93,5 %, la vida útil media de estas lavadoras está entre $9{,}305$ y $12{,}295$ años.

$\textbf{b) Calcule el error máximo que se puede cometer al estimar la vida útil media de este modelo de lavadoras, si se toma una muestra de 50 lavadoras y asumimos un nivel de confianza del 99 \%. (1 punto)}$

Para un nivel de confianza del 99 % se tiene $\alpha/2=0{,}005$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}995 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}575$

Aplicamos la expresión del error con $n=50$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} =2{,}575\cdot\dfrac{2{,}8}{\sqrt{50}} =2{,}575\cdot 0{,}39598=1{,}0196$

El error máximo que se puede cometer es de $1{,}02$ años aproximadamente.