Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=(-5+x^2)^2\cdot e^{3x}$, $\qquad g(x)=\dfrac{\ln(x^3-5x)}{1-x^2}$ (1,2 puntos)

b) Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de $h(x)=-x^2+2x+3$ y el eje de abscisas. (1,3 puntos)

$\textbf{a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:}$

$\boldsymbol{f(x)=(-5+x^2)^2\cdot e^{3x}}\textbf{, } \boldsymbol{g(x)=\dfrac{\ln(x^3-5x)}{1-x^2}}\textbf{ (1,2 puntos)}$

La función $f$ es un producto; aplicamos la regla del producto y, en el primer factor, la regla de la cadena.

$f'(x)=2\left(x^2-5\right)\cdot 2x\cdot e^{3x}+\left(x^2-5\right)^2\cdot 3e^{3x}$

Sacamos factor común $\left(x^2-5\right)e^{3x}$.

$f'(x)=\left(x^2-5\right)e^{3x}\left[4x+3\left(x^2-5\right)\right] =\left(x^2-5\right)e^{3x}\left(3x^2+4x-15\right)$

$f'(x)=\left(x^2-5\right)(3x-5)(x+3)\,e^{3x}$

La función $g$ es un cociente; aplicamos la regla del cociente y la regla de la cadena en el logaritmo.

$g'(x)= \dfrac{\dfrac{3x^2-5}{x^3-5x}\cdot\left(1-x^2\right)-\ln\left(x^3-5x\right)\cdot(-2x)}{\left(1-x^2\right)^2}$

$g'(x)= \dfrac{3x^2-5}{\left(x^3-5x\right)\left(1-x^2\right)} +\dfrac{2x\ln\left(x^3-5x\right)}{\left(1-x^2\right)^2}$

$\textbf{b) Calcule el área del recinto acotado por la gráfica de } \boldsymbol{h(x)=-x^2+2x+3}\textbf{ y el eje de abscisas. (1,3 puntos)}$

Buscamos los cortes con el eje de abscisas, que son los límites de integración.

$-x^2+2x+3=0 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\dfrac{2\pm 4}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ x=3 \end{cases}$

Como el coeficiente principal es negativo, la parábola tiene las ramas hacia abajo y entre sus dos raíces queda por encima del eje. Su vértice es $(1,4)$.



$\text{Área}=\int_{-1}^{3}\left(-x^2+2x+3\right)dx =\left[-\dfrac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-1}^{3}$

$=(-9+9+9)-\left(\dfrac{1}{3}+1-3\right) =9-\left(-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{32}{3}$

El área del recinto acotado es $\dfrac{32}{3}\approx 10{,}67$ unidades cuadradas.