Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Se considera la función $f(x)=ax^3+bx+4$, con $a$ y $b$ números reales.

a) Determine los valores $a$ y $b$ para que $f$ tenga un extremo relativo en el punto $(2,36)$. (1 punto)

b) Para $a=4$ y $b=-3$, estudie la monotonía de $f$ y determine sus extremos relativos. (0,75 puntos)

c) Para $a=4$ y $b=-3$, calcule la función $F(x)$ que verifica $F'(x)=f(x)$ y $F(2)=10$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Determine los valores } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ tenga un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{(2,36)}\textbf{. (1 punto)}$

Traducimos las dos condiciones: la gráfica pasa por el punto y en él se anula la derivada.

$f'(x)=3ax^2+b$

La gráfica pasa por $(2,36)$:

$f(2)=36 \Rightarrow 8a+2b+4=36 \Rightarrow 8a+2b=32 \Rightarrow 4a+b=16$

En un extremo relativo la derivada se anula:

$f'(2)=0 \Rightarrow 12a+b=0$

Restamos la primera ecuación de la segunda.

$\begin{cases} 4a+b=16 \\ 12a+b=0 \end{cases} \Rightarrow 8a=-16 \Rightarrow a=-2 \Rightarrow b=-12a=24$

Los valores buscados son $a=-2$ y $b=24$, con lo que $f(x)=-2x^3+24x+4$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=4}\textbf{ y } \boldsymbol{b=-3}\textbf{, estudie la monotonía de } \boldsymbol{f}\textbf{ y determine sus extremos relativos. (0,75 puntos)}$

Con esos valores la función es $f(x)=4x^3-3x+4$. Derivamos e igualamos a cero.

$f'(x)=12x^2-3=3\left(4x^2-1\right)=3(2x-1)(2x+1)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-\dfrac{1}{2} \\[4pt] x=\dfrac{1}{2} \end{cases}$

Estudiamos el signo de la derivada.



$\begin{cases} f'(-1)=12-3=9>0 \\ f'(0)=-3<0 \\ f'(1)=12-3=9>0 \end{cases}$

La función crece en $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ y decrece en $\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$.

Como pasa de crecer a decrecer, en $x=-\dfrac{1}{2}$ hay un máximo relativo, y como pasa de decrecer a crecer, en $x=\dfrac{1}{2}$ hay un mínimo relativo.

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+4=5 \qquad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}+4=3$

El máximo relativo es $\left(-\dfrac{1}{2},5\right)$ y el mínimo relativo es $\left(\dfrac{1}{2},3\right)$.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a=4}\textbf{ y } \boldsymbol{b=-3}\textbf{, calcule la función } \boldsymbol{F(x)}\textbf{ que verifica } \boldsymbol{F'(x)=f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{F(2)=10}\textbf{. (0,75 puntos)}$

La condición $F'(x)=f(x)$ dice que $F$ es una primitiva de $f$, así que integramos.

$F(x)=\int\left(4x^3-3x+4\right)dx=x^4-\dfrac{3x^2}{2}+4x+C$

Determinamos la constante con la condición $F(2)=10$.

$F(2)=16-6+8+C=18+C=10 \Rightarrow C=-8$

La función buscada es

$F(x)=x^4-\dfrac{3x^2}{2}+4x-8$