Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

a) Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigoríficos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigoríficos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1200 y 1500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigoríficos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos. (1 punto)

b) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:

$x+2y\ge 7 \qquad 4x-y\ge 1 \qquad 2x-y\le 4 \qquad 3x+2y\le 20 \qquad x\ge 0 \qquad y\ge 0$

Obtenga el valor mínimo de la función $F(x,y)=2x+y$ en el recinto anterior, así como el punto en el que se alcanza. (1,5 puntos)

$\textbf{a) Una fábrica de electrodomésticos dispone de dos cadenas de montaje. En una hora de trabajo, la cadena A produce 10 lavadoras y 5 frigoríficos, mientras que la cadena B produce 7 lavadoras y 6 frigoríficos. El coste de cada hora de trabajo en las cadenas A y B es de 1200 y 1500 euros, respectivamente. La cadena A puede funcionar, como máximo, el doble de horas que la cadena B. Si deben producir como mínimo 400 lavadoras y 280 frigoríficos, formule, sin resolver, el problema que permite obtener las horas de funcionamiento de las cadenas A y B para minimizar el coste de producción de esos electrodomésticos. (1 punto)}$

Llamamos $x$ al número de horas que funciona la cadena $A$ e $y$ al número de horas que funciona la cadena $B$. Ordenamos la información en una tabla.

$$	$\text{Lavadoras}$	$\text{Frigoríficos}$	$\text{Coste (€)}$
Cadena A $(x)$	$10x$	$5x$	$1\,200x$
Cadena B $(y)$	$7y$	$6y$	$1\,500y$
Exigido	$\ge 400$	$\ge 280$	$$

La función objetivo que hay que minimizar es el coste de producción:

$C(x,y)=1\,200x+1\,500y$

Las restricciones son:

Se producen como mínimo 400 lavadoras $\Rightarrow$ $10x+7y\ge 400$.

Se producen como mínimo 280 frigoríficos $\Rightarrow$ $5x+6y\ge 280$.

La cadena $A$ funciona como máximo el doble de horas que la $B$ $\Rightarrow$ $x\le 2y$.

El número de horas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

El problema queda formulado así:

$\text{Minimizar } C(x,y)=1\,200x+1\,500y \quad\text{sujeto a}\quad \begin{cases} 10x+7y\ge 400 \\ 5x+6y\ge 280 \\ x-2y\le 0 \\ x\ge 0;\ y\ge 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Represente el recinto definido por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices:}$

$\boldsymbol{x+2y\ge 7 \qquad 4x-y\ge 1 \qquad 2x-y\le 4 \qquad 3x+2y\le 20 \qquad x\ge 0 \qquad y\ge 0}$

$\textbf{Obtenga el valor mínimo de la función } \boldsymbol{F(x,y)=2x+y}\textbf{ en el recinto anterior, así como el punto en el que se alcanza. (1,5 puntos)}$

Cada inecuación define un semiplano. Dibujamos las rectas y elegimos, en cada caso, el semiplano correcto probando con un punto interior; aquí sirve $(3,4)$, que cumple todas. El recinto es la zona coloreada.



Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes.

Vértice $A$: $\begin{cases} x+2y=7 \\ 4x-y=1 \end{cases}$. De la segunda, $y=4x-1$; sustituyendo:

$x+2(4x-1)=7 \Rightarrow 9x=9 \Rightarrow x=1 \Rightarrow y=3 \Rightarrow A(1,3)$

Vértice $B$: $\begin{cases} x+2y=7 \\ 2x-y=4 \end{cases}$. De la segunda, $y=2x-4$; sustituyendo:

$x+2(2x-4)=7 \Rightarrow 5x=15 \Rightarrow x=3 \Rightarrow y=2 \Rightarrow B(3,2)$

Vértice $C$: $\begin{cases} 2x-y=4 \\ 3x+2y=20 \end{cases}$. Multiplicamos la primera por $2$ y sumamos:

$4x-2y=8 \Rightarrow 7x=28 \Rightarrow x=4 \Rightarrow y=4 \Rightarrow C(4,4)$

Vértice $D$: $\begin{cases} 4x-y=1 \\ 3x+2y=20 \end{cases}$. De la primera, $y=4x-1$; sustituyendo:

$3x+2(4x-1)=20 \Rightarrow 11x=22 \Rightarrow x=2 \Rightarrow y=7 \Rightarrow D(2,7)$

Valoramos la función objetivo en cada vértice en busca del mínimo.

$F(1,3)=2+3=5$

$F(3,2)=6+2=8$

$F(4,4)=8+4=12$

$F(2,7)=4+7=11$

El valor mínimo de $F$ es $5$ y se alcanza en el vértice $A(1,3)$.