Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean $A$, $B$, $X$, $Y$ matrices invertibles que verifican $A\cdot X=B$ y $B\cdot Y=A$.

a) Compruebe que $Y^{-1}=X$. (1 punto)

b) Para $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$, halle $X$ e $Y$. (1,5 puntos)

$\textbf{a) Compruebe que } \boldsymbol{Y^{-1}=X}\textbf{. (1 punto)}$

Comprobar que $Y^{-1}=X$ equivale a comprobar que $X\cdot Y=I$, pues la inversa de una matriz es la única que multiplicada por ella da la identidad.

Partimos de las dos igualdades del enunciado y sustituimos la segunda en la primera.

$A\cdot X=B \Rightarrow A\cdot X\cdot Y=B\cdot Y$

Como $B\cdot Y=A$, el segundo miembro es $A$:

$A\cdot X\cdot Y=A$

Todas las matrices son invertibles, así que multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$.

$A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot Y=A^{-1}\cdot A \Rightarrow X\cdot Y=I$

Por tanto $X$ es la inversa de $Y$, es decir, $Y^{-1}=X$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}}\textbf{ y } \boldsymbol{B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}\textbf{, halle } \boldsymbol{X}\textbf{ e } \boldsymbol{Y}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Despejamos cada incógnita de su ecuación.

$A\cdot X=B \Rightarrow X=A^{-1}\cdot B \qquad B\cdot Y=A \Rightarrow Y=B^{-1}\cdot A$

Calculamos las dos inversas. Para una matriz $2\times 2$ basta intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo los de la secundaria, dividiendo después por el determinante.

$|A|=3-2=1 \Rightarrow A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$|B|=-2-0=-2 \Rightarrow B^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt] 0 & -1 \end{pmatrix}$

Multiplicamos.

$X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$

$Y=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt] 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{5}{2} \\[6pt] -1 & -3 \end{pmatrix}$

Comprobamos el apartado anterior con estos valores:

$X\cdot Y= \begin{pmatrix} 6 & 5 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{5}{2} \\[6pt] -1 & -3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$