Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la Unión Europea (UE), se toma una muestra aleatoria de 250 de estos residentes, obteniéndose que 115 estaban a favor de dejar de pertenecer a la UE.

a) Calcule un intervalo de confianza al 99,5 %, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE. (1,5 puntos)

b) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al 5 %. (1 punto)

$\textbf{a) Calcule un intervalo de confianza al 99,5 \%, para estimar la proporción real de esos residentes que está a favor de la salida del Reino Unido de la UE. (1,5 puntos)}$

La proporción muestral es

$\hat{p}=\dfrac{115}{250}=0{,}46 \qquad \hat{q}=1-0{,}46=0{,}54$

Para un nivel de confianza del 99,5 % se tiene $1-\alpha=0{,}995$, luego $\alpha/2=0{,}0025$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}9975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}81$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=2{,}81\sqrt{\dfrac{0{,}46\cdot 0{,}54}{250}} =2{,}81\cdot 0{,}031521=0{,}0886$

$IC_{99{,}5\%}=(0{,}46-0{,}0886,\ 0{,}46+0{,}0886)=(0{,}3714,\ 0{,}5486)$



Con una confianza del 99,5 %, la proporción de residentes británicos favorables a la salida está entre el 37,14 % y el 54,86 %.

$\textbf{b) Manteniendo la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo necesario de la muestra, para estimar la proporción de residentes británicos en España que están a favor de la salida del Reino Unido de la UE, con un error inferior al 5 \%. (1 punto)}$

Imponemos que el error sea menor que $0{,}05$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}<0{,}05 \Rightarrow 2{,}81\sqrt{\dfrac{0{,}46\cdot 0{,}54}{n}}<0{,}05$

$n>\left(\dfrac{2{,}81}{0{,}05}\right)^2\cdot 0{,}46\cdot 0{,}54 =3\,158{,}44\cdot 0{,}2484=784{,}56$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $785$ residentes.