Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

El número de diagnosticados de COVID-19 por PCR en Andalucía, medido en miles de personas, se aproxima por la siguiente función:

$f(t)=\begin{cases} -t^2+2t-0{,}3 & \text{si } 0{,}2\le t\le 1{,}8 \\[4pt] 0{,}1\,t-0{,}12 & \text{si } 1{,}8<t\le 5 \\[4pt] -0{,}5\,t^2+8{,}3\,t-28{,}62 & \text{si } 5<t\le 10 \end{cases}$

donde $t$ es el tiempo, medido en meses, a partir del inicio de conteo en el mes de marzo de 2020.

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en su dominio. (1,5 puntos)

b) ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número? (1 punto)

$\textbf{a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ en su dominio. (1,5 puntos)}$

Las tres ramas son polinómicas, luego son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. Los puntos que hay que estudiar son $t=1{,}8$ y $t=5$, donde cambia la expresión.

En $t=1{,}8$:

$\lim_{t\to 1{,}8^-}f(t)=-1{,}8^2+2\cdot 1{,}8-0{,}3=-3{,}24+3{,}6-0{,}3=0{,}06$

$\lim_{t\to 1{,}8^+}f(t)=0{,}1\cdot 1{,}8-0{,}12=0{,}18-0{,}12=0{,}06$

Los dos límites laterales coinciden con $f(1{,}8)=0{,}06$, luego la función es continua en $t=1{,}8$.

En $t=5$:

$\lim_{t\to 5^-}f(t)=0{,}1\cdot 5-0{,}12=0{,}38$

$\lim_{t\to 5^+}f(t)=-0{,}5\cdot 25+8{,}3\cdot 5-28{,}62=-12{,}5+41{,}5-28{,}62=0{,}38$

También coinciden, luego la función es continua en $t=5$ y, por tanto, en todo su dominio $[0{,}2\,;\,10]$.

Para la derivabilidad calculamos las derivadas laterales.

$f'(t)= \begin{cases} -2t+2 & \text{si } 0{,}2\le t<1{,}8 \\ 0{,}1 & \text{si } 1{,}8<t<5 \\ -t+8{,}3 & \text{si } 5<t\le 10 \end{cases}$

$f'(1{,}8^-)=-3{,}6+2=-1{,}6 \qquad f'(1{,}8^+)=0{,}1$

$f'(5^-)=0{,}1 \qquad f'(5^+)=-5+8{,}3=3{,}3$

En los dos puntos las derivadas laterales son distintas, así que la función no es derivable ni en $t=1{,}8$ ni en $t=5$: la gráfica presenta ahí sendos puntos angulosos. Es derivable en el resto de su dominio.

$\textbf{b) ¿En qué instante o instantes es máximo el número de diagnosticados? ¿Cuál es ese número? (1 punto)}$

Buscamos los puntos críticos de cada rama y comparamos su valor con el de los extremos del dominio y el de los puntos angulosos.

Primera rama: $-2t+2=0 \Rightarrow t=1$, que pertenece a $[0{,}2\,;\,1{,}8]$.

$f(1)=-1+2-0{,}3=0{,}7$

Segunda rama: la derivada vale $0{,}1>0$, así que la función crece y su mayor valor es el del extremo, $f(5)=0{,}38$.

Tercera rama: $-t+8{,}3=0 \Rightarrow t=8{,}3$, que pertenece a $(5,10]$.

$f(8{,}3)=-0{,}5\cdot 68{,}89+8{,}3\cdot 8{,}3-28{,}62 =-34{,}445+68{,}89-28{,}62=5{,}825$

Comprobamos también los extremos del dominio.

$f(0{,}2)=-0{,}04+0{,}4-0{,}3=0{,}06 \qquad f(10)=-50+83-28{,}62=4{,}38$

El mayor de todos estos valores es $5{,}825$.



El número de diagnosticados es máximo en el instante $t=8{,}3$ meses, es decir, a los 8 meses y 9 días del inicio del conteo, y ese máximo es de $5{,}825$ miles de personas, o sea, 5 825 diagnosticados.