Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función

$f(x)=\begin{cases} 2^{x+1} & \text{si } x<0 \\[4pt] x^2-2x & \text{si } x\ge 0 \end{cases}$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función $f$ en su dominio. (1 punto)

b) Estudie la monotonía de la función $f$ y calcule el mínimo. (0,8 puntos)

c) Calcule $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,dx$. (0,7 puntos)

$\textbf{a) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ en su dominio. (1 punto)}$

La primera rama es una función exponencial y la segunda una polinómica, así que ambas son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto que hay que estudiar es $x=0$, donde cambia la expresión.

$\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}2^{x+1}=2^{1}=2$

$\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}\left(x^2-2x\right)=0$

Los límites laterales son distintos, luego la función no es continua en $x=0$: presenta ahí una discontinuidad de salto finito, de amplitud $2$.

Al no ser continua en $x=0$, tampoco puede ser derivable en ese punto.

La función es continua y derivable en $\mathbb{R}-\{0\}$.



$\textbf{b) Estudie la monotonía de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y calcule el mínimo. (0,8 puntos)}$

Derivamos cada rama por separado.

$f'(x)= \begin{cases} 2^{x+1}\ln 2 & \text{si } x<0 \\ 2x-2 & \text{si } x>0 \end{cases}$

En la primera rama, $2^{x+1}>0$ y $\ln 2>0$, así que la derivada es siempre positiva y la función crece en $(-\infty,0)$.

En la segunda rama igualamos a cero.

$2x-2=0 \Rightarrow x=1$



$\begin{cases} f'(0{,}5)=1-2=-1<0 \\ f'(2)=4-2=2>0 \end{cases}$

La función crece en $(-\infty,0)$, decrece en $(0,1)$ y crece en $(1,+\infty)$.

Como en $x=1$ pasa de decrecer a crecer, hay un mínimo relativo.

$f(1)=1-2=-1$

Además es el mínimo absoluto de la función, porque en la primera rama $2^{x+1}>0$ y en la segunda ningún valor baja de $-1$.

El mínimo es el punto $(1,-1)$.

$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,dx}\textbf{. (0,7 puntos)}$

Como en $x=0$ cambia la expresión de la función, partimos la integral en ese punto.

$\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}2^{x+1}dx+\int_{0}^{2}\left(x^2-2x\right)dx$

Para la primera usamos que una primitiva de $a^{x}$ es $\dfrac{a^{x}}{\ln a}$.

$\int_{-2}^{0}2^{x+1}dx=\left[\dfrac{2^{x+1}}{\ln 2}\right]_{-2}^{0} =\dfrac{2}{\ln 2}-\dfrac{2^{-1}}{\ln 2} =\dfrac{2-\dfrac{1}{2}}{\ln 2}=\dfrac{3}{2\ln 2}\approx 2{,}164$

$\int_{0}^{2}\left(x^2-2x\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-x^2\right]_{0}^{2} =\dfrac{8}{3}-4=-\dfrac{4}{3}\approx -1{,}333$

Sumamos las dos.

$\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=\dfrac{3}{2\ln 2}-\dfrac{4}{3}\approx 0{,}831$