Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se desea estimar la proporción de individuos mayores de edad de una localidad que están en contra de la construcción de una central nuclear en su término municipal. Para ello, se pregunta a 100 individuos mayores de edad de esa localidad, elegidos de forma aleatoria, resultando que 45 de ellos rechazan la construcción de la central.

a) Calcule un intervalo de confianza al 92 % para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central. (1,5 puntos)

b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al 5 %. (1 punto)

$\textbf{a) Calcule un intervalo de confianza al 92 \% para estimar la proporción real de individuos de esa localidad que están en contra de la construcción de la central. (1,5 puntos)}$

La proporción muestral es

$\hat{p}=\dfrac{45}{100}=0{,}45 \qquad \hat{q}=1-0{,}45=0{,}55$

Para un nivel de confianza del 92 % se tiene $1-\alpha=0{,}92$, luego $\alpha/2=0{,}04$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}45\cdot 0{,}55}{100}} =1{,}75\cdot 0{,}049749=0{,}0871$

$IC_{92\%}=(0{,}45-0{,}0871,\ 0{,}45+0{,}0871)=(0{,}3629,\ 0{,}5371)$



Con una confianza del 92 %, la proporción de individuos que rechazan la construcción de la central está entre el 36,29 % y el 53,71 %.

$\textbf{b) Suponiendo que se mantiene la misma proporción muestral y el mismo nivel de confianza del apartado anterior, determine el tamaño mínimo de la muestra que hay que tomar, para que al estimar la proporción de individuos de esa localidad que rechazan la construcción de la central, el error cometido sea inferior al 5 \%. (1 punto)}$

Imponemos que el error sea menor que $0{,}05$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}<0{,}05 \Rightarrow 1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}45\cdot 0{,}55}{n}}<0{,}05$

$n>\left(\dfrac{1{,}75}{0{,}05}\right)^2\cdot 0{,}45\cdot 0{,}55 =1\,225\cdot 0{,}2475=303{,}19$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que preguntar como mínimo a $304$ individuos.