Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

a) En una Escuela Politécnica hay matriculados en el último curso 60 estudiantes de Ingeniería Eléctrica, 40 de Ingeniería Informática, 30 de Ingeniería Civil, 50 de Ingeniería Mecánica y 20 de Ingeniería Aeronáutica. Se quiere hacer una encuesta al 20 % de estos estudiantes, de manera proporcional al número de matriculados en cada titulación. (1,5 puntos)

a.1) ¿Qué tipo de muestreo se debe emplear?

a.2) ¿Cuántos alumnos debe haber en la muestra y cuántos de cada titulación?

b) Dada la población $\{a,\,10,\,12,\,11,\,18\}$, ¿cuánto debe valer $a$, sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es $13{,}2$? (1 punto)

$\textbf{a.1) ¿Qué tipo de muestreo se debe emplear?}$

Se quiere encuestar al 20 % de los estudiantes repartiendo la muestra entre las titulaciones de forma proporcional al número de matriculados en cada una. La población está dividida en grupos homogéneos —las titulaciones— y de cada uno se elige un número de individuos proporcional a su tamaño.

Se debe emplear un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, tomando como estratos las cinco titulaciones.

$\textbf{a.2) ¿Cuántos alumnos debe haber en la muestra y cuántos de cada titulación?}$

El tamaño de la población es la suma de los cinco estratos.

$N=60+40+30+50+20=200$

La fracción de muestreo es el 20 %, es decir, $f=0{,}2$, luego el tamaño de la muestra es

$n=200\cdot 0{,}2=40$

Aplicamos esa misma fracción a cada estrato.

$\text{Titulación}$	$\text{Matriculados } N_i$	$n_i=0{,}2\cdot N_i$
Ingeniería Eléctrica	60	12
Ingeniería Informática	40	8
Ingeniería Civil	30	6
Ingeniería Mecánica	50	10
Ingeniería Aeronáutica	20	4
Total	200	40

La muestra consta de 40 estudiantes: 12 de Ingeniería Eléctrica, 8 de Informática, 6 de Civil, 10 de Mecánica y 4 de Aeronáutica.

$\textbf{b) Dada la población } \boldsymbol{\{a,\,10,\,12,\,11,\,18\}}\textbf{, ¿cuánto debe valer } \boldsymbol{a}\textbf{, sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es } \boldsymbol{13{,}2}\textbf{? (1 punto)}$

La distribución de las medias muestrales cumple

$\mu_{\bar{X}}=\mu$

es decir, la media de todas las medias muestrales coincide con la media de la población, sea cual sea el tamaño de las muestras. Por tanto,

$\mu=13{,}2$

Escribimos la media de la población e igualamos.

$\dfrac{a+10+12+11+18}{5}=13{,}2 \Rightarrow a+51=66 \Rightarrow a=15$

El valor buscado es $a=15$.