Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:

$f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$, $\qquad g(x)=x^3\cdot e^{2x^2}$ (1 punto)

b) Represente gráficamente la parábola $h(x)=x^2+x+1$, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,7 puntos)

c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $h(x)=x^2+x+1$, el eje de abscisas y las rectas $x=-\dfrac{1}{2}$ y $x=0$. (0,8 puntos)

$\textbf{a) Calcule la derivada de las siguientes funciones:}$

$\boldsymbol{f(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}\textbf{, } \boldsymbol{g(x)=x^3\cdot e^{2x^2}}\textbf{ (1 punto)}$

Para derivar $f$ conviene aplicar antes la propiedad del logaritmo de un cociente.

$f(x)=\ln(x-1)-\ln(x+1)$

$f'(x)=\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1} =\dfrac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\dfrac{2}{x^2-1}$

La función $g$ es un producto; aplicamos la regla del producto y la regla de la cadena en la exponencial.

$g'(x)=3x^2e^{2x^2}+x^3\cdot 4x\,e^{2x^2}$

Sacamos factor común $x^2e^{2x^2}$.

$g'(x)=x^2e^{2x^2}\left(3+4x^2\right)$

$\textbf{b) Represente gráficamente la parábola } \boldsymbol{h(x)=x^2+x+1}\textbf{, indicando el vértice y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,7 puntos)}$

Corte con el eje $OY$: hacemos $x=0$ y obtenemos $h(0)=1$, luego el punto es $(0,1)$.

Cortes con el eje $OX$: resolvemos $x^2+x+1=0$.

$\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 1=-3<0$

El discriminante es negativo, así que la parábola no corta al eje de abscisas.

El vértice se obtiene anulando la derivada.

$h'(x)=2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

$h\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{4}$

El vértice es $V\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{4}\right)$, y como el coeficiente principal es positivo las ramas van hacia arriba.



$\textbf{c) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de } \boldsymbol{h(x)=x^2+x+1}\textbf{, el eje de abscisas y las rectas } \boldsymbol{x=-\dfrac{1}{2}}\textbf{ y } \boldsymbol{x=0}\textbf{. (0,8 puntos)}$

Por el apartado anterior, la parábola no corta al eje de abscisas y su valor mínimo es $\dfrac{3}{4}>0$, luego en todo el intervalo $\left[-\dfrac{1}{2},0\right]$ la función es positiva y el recinto queda por encima del eje.



$\text{Área}=\int_{-1/2}^{0}\left(x^2+x+1\right)dx =\left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x\right]_{-1/2}^{0}$

$=0-\left(-\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}\right) =-\left(\dfrac{-1+3-12}{24}\right)=\dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12}$

El área del recinto es $\dfrac{5}{12}\approx 0{,}42$ unidades cuadradas.