Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Se considera la función $f(x)=x^3-4x^2+4x$.

a) Estudie su monotonía y calcule sus extremos. (1 punto)

b) Represente gráficamente la función. (0,5 puntos)

c) Calcule $\displaystyle\int f(x)\,dx$. (0,5 puntos)

d) Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Estudie su monotonía y calcule sus extremos. (1 punto)}$

Derivamos la función e igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$f'(x)=3x^2-8x+4$

$3x^2-8x+4=0 \Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64-48}}{6}=\dfrac{8\pm 4}{6} \Rightarrow \begin{cases} x=\dfrac{2}{3} \\[4pt] x=2 \end{cases}$

Estudiamos el signo de la derivada, que factoriza como $f'(x)=(3x-2)(x-2)$.



$\begin{cases} f'(0)=4>0 \\ f'(1)=3-8+4=-1<0 \\ f'(3)=27-24+4=7>0 \end{cases}$

La función crece en $\left(-\infty,\dfrac{2}{3}\right)\cup(2,+\infty)$ y decrece en $\left(\dfrac{2}{3},2\right)$.

Como pasa de crecer a decrecer, en $x=\dfrac{2}{3}$ hay un máximo relativo, y como pasa de decrecer a crecer, en $x=2$ hay un mínimo relativo.

$f\left(\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{8}{27}-\dfrac{16}{9}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{32}{27}\approx 1{,}19 \qquad f(2)=8-16+8=0$

El máximo relativo es $\left(\dfrac{2}{3},\dfrac{32}{27}\right)$ y el mínimo relativo es $(2,0)$.

$\textbf{b) Represente gráficamente la función. (0,5 puntos)}$

Buscamos también los cortes con los ejes. Sacando factor común,

$x^3-4x^2+4x=x\left(x^2-4x+4\right)=x(x-2)^2$

$x(x-2)^2=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \text{ (raíz doble)} \end{cases}$

La curva corta al eje de abscisas en el origen y es tangente a él en $x=2$, que es precisamente el mínimo relativo. Con esta información se dibuja la gráfica.



$\textbf{c) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int f(x)\,dx}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Integramos término a término aplicando la regla de la potencia.

$\int\left(x^3-4x^2+4x\right)dx =\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+2x^2+C$

$\textbf{d) Calcule el área del recinto acotado limitado por la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ y el eje de abscisas. (0,5 puntos)}$

Los cortes con el eje de abscisas son $x=0$ y $x=2$, de modo que el único recinto acotado va de $0$ a $2$. En su interior la función es positiva, pues $x>0$ y $(x-2)^2>0$.



$\text{Área}=\int_{0}^{2}\left(x^3-4x^2+4x\right)dx =\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}+2x^2\right]_{0}^{2}$

$=\left(4-\dfrac{32}{3}+8\right)-0=\dfrac{36-32}{3}=\dfrac{4}{3}$

El área del recinto acotado es $\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$ unidades cuadradas.