Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa de recambios industriales produce dos tipos de baterías, $A$ y $B$. Su producción semanal debe ser de al menos 10 baterías en total y el número de baterías de tipo $B$ no puede superar en más de 10 unidades a las fabricadas de tipo $A$. Cada batería de tipo $A$ tiene unos gastos de producción de 150 euros y cada batería de tipo $B$ de 100 euros, disponiendo de un máximo de 6000 euros a la semana para el coste total de producción.

Si la empresa vende todo lo que produce y cada batería de tipo $A$ genera un beneficio de 130 euros y la de tipo $B$ de 140 euros, ¿cuántas baterías de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el beneficio total sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio? (2,5 puntos)

$\textbf{Si la empresa vende todo lo que produce y cada batería de tipo } \boldsymbol{A}\textbf{ genera un beneficio de 130 euros y la de tipo } \boldsymbol{B}\textbf{ de 140 euros, ¿cuántas baterías de cada tipo tendrán que producir a la semana para que el beneficio total sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio? (2,5 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de baterías de tipo $A$ e $y$ al número de baterías de tipo $B$ producidas cada semana. Hacemos una tabla para ordenar la información del enunciado.

$$	$\text{Gasto (€)}$	$\text{Beneficio (€)}$
Tipo $A$ $(x)$	$150x$	$130x$
Tipo $B$ $(y)$	$100y$	$140y$
Totales	$150x+100y$	$130x+140y$

La función objetivo que deseamos maximizar es el beneficio semanal:

$B(x,y)=130x+140y$

Las restricciones del problema son:

La producción semanal es de al menos 10 baterías en total $\Rightarrow$ $x+y\ge 10$.

Las de tipo $B$ no superan en más de 10 unidades a las de tipo $A$ $\Rightarrow$ $y-x\le 10$.

El coste total de producción no puede pasar de 6000 euros $\Rightarrow$ $150x+100y\le 6\,000$.

El número de baterías no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Reunimos las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\ge 10 \\ -x+y\le 10 \\ 150x+100y\le 6\,000 \\ x\ge 0;\ y\ge 0 \end{cases}$

Representamos la región factible tomando, para cada recta, el semiplano que contiene al punto $(15,5)$, que cumple las cinco inecuaciones. La región factible es la zona coloreada.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes.

Vértice $A$: $\begin{cases} y=0 \\ x+y=10 \end{cases} \Rightarrow A(10,0)$

Vértice $B$: $\begin{cases} y=0 \\ 150x+100y=6\,000 \end{cases} \Rightarrow 150x=6\,000 \Rightarrow x=40 \Rightarrow B(40,0)$

Vértice $C$: $\begin{cases} -x+y=10 \\ 150x+100y=6\,000 \end{cases}$. De la primera, $y=x+10$; sustituyendo:

$150x+100(x+10)=6\,000 \Rightarrow 250x=5\,000 \Rightarrow x=20 \Rightarrow y=30 \Rightarrow C(20,30)$

Vértice $D$: $\begin{cases} x=0 \\ -x+y=10 \end{cases} \Rightarrow D(0,10)$

Valoramos la función objetivo en cada uno de los vértices en busca del beneficio máximo:

$B(10,0)=1\,300$

$B(40,0)=5\,200$

$B(20,30)=2\,600+4\,200=6\,800$

$B(0,10)=1\,400$

El beneficio máximo se alcanza en el vértice $C(20,30)$. Se comprueba que en él se agota el presupuesto: $150\cdot 20+100\cdot 30=3\,000+3\,000=6\,000$ euros.

La empresa debe producir 20 baterías de tipo $A$ y 30 de tipo $B$ a la semana, con lo que el beneficio total máximo es de $6\,800$ euros.