Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El número de días que los titulados en un cierto máster tardan en encontrar su primer trabajo sigue una distribución Normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica 3 días.

a) Se elige una muestra aleatoria de 100 titulados obteniéndose una media muestral de $8{,}1$ días. Calcule un intervalo de confianza al 97 % para estimar la media poblacional. (1 punto)

b) Con un nivel de confianza del 92 %, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día. (1 punto)

c) Suponiendo $\mu=7{,}61$ días y tomando muestras aleatorias de 36 titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días? (0,5 puntos)

$\textbf{a) Se elige una muestra aleatoria de 100 titulados obteniéndose una media muestral de } \boldsymbol{8{,}1}\textbf{ días. Calcule un intervalo de confianza al 97 \% para estimar la media poblacional. (1 punto)}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=3$ días, y de la muestra de $n=100$ titulados se obtiene $\bar{x}=8{,}1$.

Para un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=2{,}17\cdot\dfrac{3}{\sqrt{100}}=2{,}17\cdot 0{,}3=0{,}651$

$IC_{97\%}=(8{,}1-0{,}651,\ 8{,}1+0{,}651)=(7{,}449;\ 8{,}751)$



Con una confianza del 97 %, el número medio de días que tardan en encontrar su primer trabajo está entre 7,449 y 8,751 días.

$\textbf{b) Con un nivel de confianza del 92 \%, calcule el tamaño muestral mínimo necesario para que el error cometido, al estimar el número medio de días que estos titulados tardan en encontrar trabajo, sea inferior a un día. (1 punto)}$

Para un nivel de confianza del 92 % se tiene $\alpha/2=0{,}04$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$

Imponemos que el error sea menor que $1$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<1 \Rightarrow 1{,}75\cdot\dfrac{3}{\sqrt{n}}<1 \Rightarrow \sqrt{n}>5{,}25$

$n>5{,}25^2=27{,}5625$

Hay que tomar como mínimo $28$ titulados.

$\textbf{c) Suponiendo } \boldsymbol{\mu=7{,}61}\textbf{ días y tomando muestras aleatorias de 36 titulados, ¿qué distribución de probabilidad sigue la variable aleatoria media muestral? ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 8 días? (0,5 puntos)}$

Como la población es normal, la media muestral sigue la ley

$\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) =N\left(7{,}61,\dfrac{3}{\sqrt{36}}\right)=N(7{,}61\,;\,0{,}5)$

Tipificamos para usar la tabla de la $N(0,1)$.

$P(\bar{X}>8)=P\left(Z>\dfrac{8-7{,}61}{0{,}5}\right)=P(Z>0{,}78)$



$P(Z>0{,}78)=1-P(Z\le 0{,}78)=1-0{,}7823=0{,}2177$

La probabilidad de que la media muestral supere los 8 días es $0{,}2177$.