Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Una fábrica de tornillos quiere hacer un estudio sobre la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones del fabricante. Para ello ha seleccionado una muestra aleatoria de 1500 tornillos, resultando que 1425 cumplen las especificaciones del fabricante.

a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97 %. (1,5 puntos)

b) Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1 %? (1 punto)

$\textbf{a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de tornillos que cumplen con las especificaciones del fabricante con un nivel de confianza del 97 \%. (1,5 puntos)}$

La proporción muestral es

$\hat{p}=\dfrac{1\,425}{1\,500}=0{,}95 \qquad \hat{q}=1-0{,}95=0{,}05$

Para un nivel de confianza del 97 % se tiene $1-\alpha=0{,}97$, luego $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}95\cdot 0{,}05}{1\,500}} =2{,}17\cdot 0{,}005627=0{,}0122$

$IC_{97\%}=(0{,}95-0{,}0122,\ 0{,}95+0{,}0122)=(0{,}9378,\ 0{,}9622)$



Con una confianza del 97 %, la proporción de tornillos que cumplen las especificaciones está entre el 93,78 % y el 96,22 %.

$\textbf{b) Manteniendo la proporción muestral y el nivel de confianza del apartado anterior, ¿cuál tendría que ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error de estimación sea inferior al 1 \%? (1 punto)}$

Imponemos que el error sea menor que $0{,}01$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}<0{,}01 \Rightarrow 2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}95\cdot 0{,}05}{n}}<0{,}01$

$n>\left(\dfrac{2{,}17}{0{,}01}\right)^2\cdot 0{,}95\cdot 0{,}05 =47\,089\cdot 0{,}0475=2\,236{,}73$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $2\,237$ tornillos.