Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

a) Se considera la función $f(x)=x^3+bx^2+cx-1$ donde $b$ y $c$ son números reales. Determine el valor de $b$ y $c$ para que la función $f$ presente un extremo en el punto de abscisa $x=\dfrac{1}{3}$ y además la gráfica de la función $f$ pase por el punto $(-2,-3)$. (1 punto)

b) Dada la función $g(x)=-x^3-x^2+x+1$, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g$ y el eje de abscisas. (1,5 puntos)

$\textbf{a) Se considera la función } \boldsymbol{f(x)=x^3+bx^2+cx-1}\textbf{ donde } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ son números reales. Determine el valor de } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f}\textbf{ presente un extremo en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=\dfrac{1}{3}}\textbf{ y además la gráfica de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ pase por el punto } \boldsymbol{(-2,-3)}\textbf{. (1 punto)}$

Traducimos las dos condiciones del enunciado. Derivamos primero la función.

$f'(x)=3x^2+2bx+c$

En un extremo relativo la derivada se anula:

$f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=0 \Rightarrow 3\cdot\dfrac{1}{9}+\dfrac{2b}{3}+c=0 \Rightarrow \dfrac{1}{3}+\dfrac{2b}{3}+c=0 \Rightarrow 2b+3c=-1$

La gráfica pasa por el punto $(-2,-3)$:

$f(-2)=-3 \Rightarrow -8+4b-2c-1=-3 \Rightarrow 4b-2c=6 \Rightarrow 2b-c=3$

Restamos la segunda ecuación de la primera.

$\begin{cases} 2b+3c=-1 \\ 2b-c=3 \end{cases} \Rightarrow 4c=-4 \Rightarrow c=-1$

$2b-(-1)=3 \Rightarrow 2b=2 \Rightarrow b=1$

Los valores buscados son $b=1$ y $c=-1$, con lo que $f(x)=x^3+x^2-x-1$. Se comprueba que $f'(x)=3x^2+2x-1=(3x-1)(x+1)$ se anula, efectivamente, en $x=\dfrac{1}{3}$.

$\textbf{b) Dada la función } \boldsymbol{g(x)=-x^3-x^2+x+1}\textbf{, realice el esbozo de su gráfica, estudiando los puntos de corte con los ejes coordenados y su monotonía. Determine el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función } \boldsymbol{g}\textbf{ y el eje de abscisas. (1,5 puntos)}$

Corte con el eje $OY$: hacemos $x=0$ y obtenemos $g(0)=1$, luego el punto es $(0,1)$.

Cortes con el eje $OX$: factorizamos agrupando términos.

$g(x)=-x^3-x^2+x+1=-x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)\left(1-x^2\right)=-(x-1)(x+1)^2$

$-(x-1)(x+1)^2=0 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-1 \text{ (raíz doble)} \end{cases}$

Los cortes con el eje de abscisas son $(-1,0)$ —donde la curva es tangente al eje— y $(1,0)$.

Para la monotonía derivamos e igualamos a cero.

$g'(x)=-3x^2-2x+1=-(3x-1)(x+1)$

$g'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ x=\dfrac{1}{3} \end{cases}$

Estudiamos el signo de la derivada.



$\begin{cases} g'(-2)=-12+4+1=-7<0 \\ g'(0)=1>0 \\ g'(1)=-3-2+1=-4<0 \end{cases}$

La función decrece en $(-\infty,-1)\cup\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)$ y crece en $\left(-1,\dfrac{1}{3}\right)$.

En $x=-1$ hay un mínimo relativo, $(-1,0)$, y en $x=\dfrac{1}{3}$ un máximo relativo,

$g\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{27}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{32}{27}\approx 1{,}19$

Con esta información esbozamos la gráfica. El recinto acotado que la curva encierra con el eje de abscisas va de $x=-1$ a $x=1$, y en su interior la función es positiva.



$\text{Área}=\int_{-1}^{1}\left(-x^3-x^2+x+1\right)dx =\left[-\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{1}$

$=\left(-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1\right) -\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-1\right) =\dfrac{11}{12}-\left(-\dfrac{5}{12}\right)=\dfrac{16}{12}=\dfrac{4}{3}$

El área del recinto acotado es $\dfrac{4}{3}\approx 1{,}33$ unidades cuadradas.