Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Se considera el recinto definido por las siguientes inecuaciones:

$y-2x\le 7; \qquad -x+3y\le 21; \qquad x+2y\le 19; \qquad x+y\le 14$

a) Represente dicho recinto y determine sus vértices. (1,4 puntos)

b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x,y)=x+4y$ en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan. (0,6 puntos)

c) ¿Podría tomar la función objetivo $F$ el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Represente dicho recinto y determine sus vértices. (1,4 puntos)}$

Cada inecuación define un semiplano. Dibujamos las cuatro rectas y elegimos, en cada caso, el semiplano que contiene al origen, que cumple las cuatro inecuaciones. El recinto es la intersección de los cuatro semiplanos, coloreada en el dibujo.



Conviene observar que el enunciado no impone $x\ge 0$ ni $y\ge 0$, de modo que el recinto no está acotado: se prolonga indefinidamente hacia abajo entre las rectas $y-2x=7$ y $x+y=14$.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: $\begin{cases} y-2x=7 \\ -x+3y=21 \end{cases}$. De la primera, $y=2x+7$; sustituyendo:

$-x+3(2x+7)=21 \Rightarrow 5x=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=7 \Rightarrow A(0,7)$

Vértice $B$: $\begin{cases} -x+3y=21 \\ x+2y=19 \end{cases}$. Sumando las dos ecuaciones:

$5y=40 \Rightarrow y=8 \Rightarrow x=19-16=3 \Rightarrow B(3,8)$

Vértice $C$: $\begin{cases} x+2y=19 \\ x+y=14 \end{cases}$. Restando las dos ecuaciones:

$y=5 \Rightarrow x=14-5=9 \Rightarrow C(9,5)$

Los vértices del recinto son $A(0,7)$, $B(3,8)$ y $C(9,5)$.

$\textbf{b) Calcule los valores máximo y mínimo de la función } \boldsymbol{F(x,y)=x+4y}\textbf{ en el recinto anterior, así como los puntos donde se alcanzan. (0,6 puntos)}$

Valoramos la función objetivo en los tres vértices.

$F(0,7)=0+28=28$

$F(3,8)=3+32=35$

$F(9,5)=9+20=29$

El valor máximo es $35$ y se alcanza en el vértice $B(3,8)$.

En cambio, la función no alcanza mínimo, porque el recinto no está acotado inferiormente. Basta tomar puntos de la forma $(0,y)$ con $y$ negativo: todos cumplen las cuatro inecuaciones y

$F(0,y)=4y\xrightarrow[y\to-\infty]{}-\infty$

Si al recinto se le añaden las condiciones habituales de no negatividad $x\ge 0$, $y\ge 0$ —que el enunciado no escribe—, aparecen los vértices $O(0,0)$ y $D(14,0)$ y el mínimo sería $F(0,0)=0$, alcanzado en el origen.

$\textbf{c) ¿Podría tomar la función objetivo } \boldsymbol{F}\textbf{ el valor 40 en algún punto de la región factible? ¿Y el valor 20? Justifique las respuestas. (0,5 puntos)}$

El valor máximo de $F$ en el recinto es $35$, luego $F$ no puede valer $40$ en ningún punto de la región factible: la recta $x+4y=40$ queda fuera del recinto.

El valor $20$ sí se alcanza, pues es menor que el máximo y la función es continua sobre un recinto conexo. Un punto concreto es $(0,5)$, que cumple las cuatro inecuaciones

$\begin{cases} 5-0=5\le 7 \\ 0+15=15\le 21 \\ 0+10=10\le 19 \\ 0+5=5\le 14 \end{cases}$

y en el que $F(0,5)=0+20=20$.