Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se consideran las matrices

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

a) Determine la matriz $X$ que verifica $A\cdot X+B=A^2\cdot C$. (1,5 puntos)

b) Determine las dimensiones de dos matrices $P$ y $Q$ sabiendo que

$A\cdot P^{t}+C=C\cdot (Q\cdot B)$ (1 punto)

$\textbf{a) Determine la matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que verifica } \boldsymbol{A\cdot X+B=A^2\cdot C}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Comprobamos primero que $A$ tiene inversa, que es lo que permite despejar $X$.

$|A|= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} =1\cdot(0+1)-1\cdot(2-0)+2\cdot(2-0)=1-2+4=3\neq 0$

Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$.

$A\cdot X+B=A^2\cdot C \Rightarrow A\cdot X=A^2\cdot C-B \Rightarrow X=A^{-1}\left(A^2\cdot C-B\right)$

Calculamos $A^2$.

$A^2= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Y ahora $A^2\cdot C$.

$A^2\cdot C= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 11 & -16 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

Restamos $B$.

$A^2\cdot C-B= \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 11 & -16 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & -17 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calculamos $A^{-1}$ por el método de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \left(\operatorname{Adj}(A)\right)^{t}= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Finalmente multiplicamos.

$X=\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & -17 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ -13 & 10 \\ 10 & -13 \end{pmatrix}$

La matriz buscada es

$X=\dfrac{1}{3} \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ -13 & 10 \\ 10 & -13 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) Determine las dimensiones de dos matrices } \boldsymbol{P}\textbf{ y } \boldsymbol{Q}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{A\cdot P^{t}+C=C\cdot (Q\cdot B)}\textbf{ (1 punto)}$

Dos matrices se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda, y se pueden sumar cuando tienen la misma dimensión.

Sea $P$ de dimensión $m\times n$, con lo que $P^{t}$ es $n\times m$. El producto $A\cdot P^{t}$ exige

$(3\times 3)\cdot(n\times m) \Rightarrow n=3$

y da una matriz $3\times m$. Como se le suma $C$, que es $3\times 2$, ha de ser $m=2$.

$P \text{ es de dimensión } 2\times 3$

Sea ahora $Q$ de dimensión $p\times q$. El producto $Q\cdot B$ exige

$(p\times q)\cdot(3\times 2) \Rightarrow q=3$

y da una matriz $p\times 2$. Ese resultado se multiplica por la izquierda por $C$, que es $3\times 2$, luego

$(3\times 2)\cdot(p\times 2) \Rightarrow p=2$

y el producto $C\cdot(Q\cdot B)$ resulta $3\times 2$, la misma dimensión que $A\cdot P^{t}+C$, como debe ser.

$Q \text{ es de dimensión } 2\times 3$