Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Se quiere estudiar la proporción de perros que están vacunados en Andalucía. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 400 perros de los que 320 resultan estar vacunados.

a) Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92 % para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido. (1,5 puntos)

b) En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que $0{,}02$? (1 punto)

$\textbf{a) Obtenga un intervalo con un nivel de confianza del 92 \% para estimar la proporción de perros vacunados en Andalucía y calcule el error máximo cometido. (1,5 puntos)}$

La proporción muestral es

$\hat{p}=\dfrac{320}{400}=0{,}8 \qquad \hat{q}=1-0{,}8=0{,}2$

Para un nivel de confianza del 92 % se tiene $\alpha/2=0{,}04$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$

El error máximo admisible es

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} =1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}2}{400}} =1{,}75\cdot 0{,}02=0{,}035$

$IC_{92\%}=(0{,}8-0{,}035,\ 0{,}8+0{,}035)=(0{,}765,\ 0{,}835)$



Con una confianza del 92 %, la proporción de perros vacunados en Andalucía está entre el 76,5 % y el 83,5 %, con un error máximo de $0{,}035$.

$\textbf{b) En una nueva muestra, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, ¿cuántos perros, como mínimo, hay que elegir para que el error sea menor que } \boldsymbol{0{,}02}\textbf{? (1 punto)}$

Imponemos que el error sea menor que $0{,}02$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}<0{,}02 \Rightarrow 1{,}75\sqrt{\dfrac{0{,}8\cdot 0{,}2}{n}}<0{,}02$

$n>\left(\dfrac{1{,}75}{0{,}02}\right)^2\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2 =7\,656{,}25\cdot 0{,}16=1\,225$

La desigualdad es estricta, y con $n=1\,225$ el error valdría exactamente $0{,}02$, así que hay que elegir como mínimo $1\,226$ perros.