Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

La resistencia media a la ruptura de una nueva gama de herramientas sigue una distribución Normal de desviación típica $15\ MPa$ (megapascales). Se seleccionan al azar 100 herramientas forjadas en la misma máquina durante el mismo proceso de producción, obteniéndose una resistencia media de $800\ MPa$.

a) Realizando la estimación con un nivel de confianza del 92 %, ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas? (1,25 puntos)

b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que $2\ MPa$? (1,25 puntos)

$\textbf{a) Realizando la estimación con un nivel de confianza del 92 \%, ¿entre qué valores se estima la resistencia media poblacional de esta gama de herramientas? (1,25 puntos)}$

La población es normal con desviación típica conocida $\sigma=15\ MPa$, y de una muestra de $n=100$ herramientas se ha obtenido $\bar{x}=800\ MPa$.

Para un nivel de confianza del 92 % se tiene $1-\alpha=0{,}92$, luego $\alpha/2=0{,}04$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}96 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}75$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=1{,}75\cdot\dfrac{15}{\sqrt{100}}=1{,}75\cdot 1{,}5=2{,}625$

$IC_{92\%}=(800-2{,}625,\ 800+2{,}625)=(797{,}375;\ 802{,}625)$



Con una confianza del 92 %, la resistencia media poblacional está entre $797{,}375\ MPa$ y $802{,}625\ MPa$.

$\textbf{b) Manteniendo el mismo nivel de confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de una nueva muestra para que el error máximo en la estimación de la resistencia media a la ruptura sea menor que } \boldsymbol{2\ MPa}\textbf{? (1,25 puntos)}$

Imponemos que el error sea menor que $2$ y despejamos $n$.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<2 \Rightarrow 1{,}75\cdot\dfrac{15}{\sqrt{n}}<2$

$\sqrt{n}>\dfrac{1{,}75\cdot 15}{2}=13{,}125 \Rightarrow n>13{,}125^2=172{,}27$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que tomar como mínimo $173$ herramientas.