Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

a) Se considera la función

$f(x)=\begin{cases} 6x-3 & \text{si } x\le 1 \\[4pt] ax^2+bx+2 & \text{si } x>1 \end{cases}$

con $a$ y $b$ números reales. Determine los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea continua y derivable en todo su dominio. (1,25 puntos)

b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje $OX$ y la gráfica de la función $g(x)=-2x^2+8x-6$. (1,25 puntos)

$\textbf{a) Se considera la función } \boldsymbol{f(x)=\begin{cases} 6x-3 & \text{si } x\le 1 \\ ax^2+bx+2 & \text{si } x>1 \end{cases}}\textbf{ con } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ números reales. Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua y derivable en todo su dominio. (1,25 puntos)}$

Las dos ramas son polinómicas, así que son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto que hay que estudiar es $x=1$, donde cambia la expresión.

Para que sea continua en $x=1$ los límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

$\lim_{x\to 1^-}f(x)=6-3=3 \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=a+b+2$

$3=a+b+2 \Rightarrow a+b=1$

Para que sea derivable en $x=1$ las derivadas laterales deben coincidir.

$f'(x)= \begin{cases} 6 & \text{si } x<1 \\ 2ax+b & \text{si } x>1 \end{cases}$

$f'(1^-)=6 \qquad f'(1^+)=2a+b \Rightarrow 2a+b=6$

Reunimos las dos condiciones en un sistema y lo resolvemos restando la primera ecuación de la segunda.

$\begin{cases} a+b=1 \\ 2a+b=6 \end{cases} \Rightarrow a=5 \Rightarrow b=1-5=-4$

La función es continua y derivable en todo su dominio cuando $a=5$ y $b=-4$.

$\textbf{b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ y la gráfica de la función } \boldsymbol{g(x)=-2x^2+8x-6}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Buscamos los cortes con el eje de abscisas, que son los límites de integración.

$-2x^2+8x-6=0 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$

Como el coeficiente principal es negativo, la parábola tiene las ramas hacia abajo y entre sus dos raíces queda por encima del eje. El recinto acotado es el arco comprendido entre $x=1$ y $x=3$.



$\text{Área}=\int_{1}^{3}\left(-2x^2+8x-6\right)dx =\left[-\dfrac{2x^3}{3}+4x^2-6x\right]_{1}^{3}$

$=\left(-18+36-18\right)-\left(-\dfrac{2}{3}+4-6\right) =0-\left(-\dfrac{8}{3}\right)=\dfrac{8}{3}$

El área del recinto acotado es $\dfrac{8}{3}\approx 2{,}67$ unidades cuadradas.