Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

a) Se considera la función $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, con $a$, $b$ y $c$ números reales. Calcule los valores $a$, $b$ y $c$, sabiendo que la gráfica de $f$ posee un extremo relativo en el punto de abscisa $x=3$ y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $P(0,18)$ es $-3$. (1,25 puntos)

b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función $g(x)=x^3-4x^2-3x+18$ y el eje de abscisas. (1,25 puntos)

$\textbf{a) Se considera la función } \boldsymbol{f(x)=x^3+ax^2+bx+c}\textbf{, con } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{ números reales. Calcule los valores } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c}\textbf{, sabiendo que la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ posee un extremo relativo en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=3}\textbf{ y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{P(0,18)}\textbf{ es } \boldsymbol{-3}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Traducimos las tres condiciones del enunciado. Derivamos primero la función.

$f'(x)=3x^2+2ax+b$

La gráfica pasa por el punto $P(0,18)$:

$f(0)=18 \Rightarrow c=18$

La pendiente de la recta tangente en $P(0,18)$ es $-3$, y la pendiente de la tangente es el valor de la derivada:

$f'(0)=-3 \Rightarrow b=-3$

Hay un extremo relativo en $x=3$, luego ahí se anula la derivada:

$f'(3)=0 \Rightarrow 27+6a+b=0$

Sustituyendo $b=-3$:

$27+6a-3=0 \Rightarrow 6a=-24 \Rightarrow a=-4$

Los valores buscados son $a=-4$, $b=-3$ y $c=18$, de modo que $f(x)=x^3-4x^2-3x+18$.

$\textbf{b) Calcule el área del recinto acotado, limitado por la gráfica de la función } \boldsymbol{g(x)=x^3-4x^2-3x+18}\textbf{ y el eje de abscisas. (1,25 puntos)}$

Buscamos los cortes con el eje de abscisas, que son los límites de integración. Aplicando la regla de Ruffini con $x=-2$:

$x^3-4x^2-3x+18=(x+2)\left(x^2-6x+9\right)=(x+2)(x-3)^2$

$(x+2)(x-3)^2=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-2 \\ x=3 \text{ (raíz doble)} \end{cases}$

En $x=3$ la raíz es doble, de modo que la curva es tangente al eje y no lo atraviesa: el único recinto acotado va de $x=-2$ a $x=3$. Como $(x-3)^2\ge 0$ y $x+2>0$ en el interior de ese intervalo, la función es positiva y el recinto queda por encima del eje.



$\text{Área}=\int_{-2}^{3}\left(x^3-4x^2-3x+18\right)dx =\left[\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{4x^3}{3}-\dfrac{3x^2}{2}+18x\right]_{-2}^{3}$

$=\left(\dfrac{81}{4}-36-\dfrac{27}{2}+54\right) -\left(4+\dfrac{32}{3}-6-36\right)$

$=\dfrac{99}{4}-\left(-\dfrac{82}{3}\right) =\dfrac{297+328}{12}=\dfrac{625}{12}\approx 52{,}08$

El área del recinto acotado es $\dfrac{625}{12}$ unidades cuadradas.