Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Se consideran las matrices

$A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

donde $a$ es un número real.

a) Halle los valores del parámetro $a$ para que la matriz $A$ tenga inversa. (0,75 puntos)

b) Para $a=2$, calcule la matriz inversa de $A$. (0,75 puntos)

c) Para $a=2$, resuelva la ecuación matricial $X\cdot A+I_3=B^{t}\cdot C$. (1 punto)

$\textbf{a) Halle los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ tenga inversa. (0,75 puntos)}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Desarrollamos $|A|$ por los elementos de la primera fila.

$|A|= \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix} =a\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} -1\cdot\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$

$|A|=a(a-4)-(0-3)=a^2-4a+3=(a-1)(a-3)$

Imponemos que no se anule.

$(a-1)(a-3)\neq 0 \Rightarrow a\neq 1 \text{ y } a\neq 3$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $a$ distinto de $1$ y de $3$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{, calcule la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Para $a=2$ la matriz es

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A|=(2-1)(2-3)=-1\neq 0$

Calculamos la matriz de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} -2 & 3 & -6 \\ -1 & 2 & -5 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \left(\operatorname{Adj}(A)\right)^{t}= \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}$

Aplicamos la fórmula de la matriz inversa.

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\operatorname{Adj}(A)\right)^{t} =\dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}$

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{, resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{X\cdot A+I_3=B^{t}\cdot C}\textbf{. (1 punto)}$

Despejamos $X$ multiplicando por la derecha por $A^{-1}$.

$X\cdot A+I_3=B^{t}\cdot C \Rightarrow X\cdot A=B^{t}\cdot C-I_3 \Rightarrow X=\left(B^{t}\cdot C-I_3\right)\cdot A^{-1}$

Calculamos el producto $B^{t}\cdot C$, que multiplica una matriz $3\times 1$ por otra $1\times 3$ y da una matriz $3\times 3$.

$B^{t}\cdot C= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Restamos la matriz identidad.

$B^{t}\cdot C-I_3= \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

Multiplicamos por la inversa calculada en el apartado anterior.

$X= \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28 & -21 & 19 \\ 16 & 12 & -11 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es

$X=\begin{pmatrix} -28 & -21 & 19 \\ 16 & 12 & -11 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}$