Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una pastelería decide preparar dos tipos de cajas de pastelitos para regalar a los clientes en su inauguración. En total dispone de 120 piononos y 150 pestiños. En la caja del primer tipo habrá 3 piononos y 2 pestiños y en la del segundo tipo 4 piononos y 6 pestiños. Deben preparar al menos 9 cajas del segundo tipo.

Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán. (2,5 puntos)

$\textbf{Determine cuántas cajas de cada tipo deberá preparar para realizar el máximo número de regalos posible. En este caso, indique cuántos piononos y cuántos pestiños se utilizarán. (2,5 puntos)}$

Llamamos $x$ al número de cajas del primer tipo e $y$ al número de cajas del segundo tipo. Hacemos una tabla para ordenar la información del enunciado.

$$	$\text{Piononos}$	$\text{Pestiños}$
Cajas tipo 1 $(x)$	$3x$	$2x$
Cajas tipo 2 $(y)$	$4y$	$6y$
Disponible	120	150

La función objetivo que deseamos maximizar es el número total de cajas, que es el número de regalos:

$N(x,y)=x+y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 120 piononos $\Rightarrow$ $3x+4y\le 120$.

Se dispone de 150 pestiños $\Rightarrow$ $2x+6y\le 150$.

Se preparan al menos 9 cajas del segundo tipo $\Rightarrow$ $y\ge 9$.

El número de cajas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\ge 0$.

Reunimos las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 3x+4y\le 120 \\ 2x+6y\le 150 \\ y\ge 9 \\ x\ge 0 \end{cases}$

Representamos la región factible tomando, para cada recta, el semiplano que contiene al punto $(0,9)$, que cumple las cuatro inecuaciones. La región factible es la zona coloreada.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes.

Vértice $A$: $\begin{cases} x=0 \\ y=9 \end{cases} \Rightarrow A(0,9)$

Vértice $B$: $\begin{cases} 3x+4y=120 \\ y=9 \end{cases} \Rightarrow 3x=120-36=84 \Rightarrow x=28 \Rightarrow B(28,9)$

Vértice $C$: $\begin{cases} 3x+4y=120 \\ 2x+6y=150 \end{cases}$. Multiplicamos la primera por $2$ y la segunda por $-3$ y sumamos:

$\begin{cases} 6x+8y=240 \\ -6x-18y=-450 \end{cases} \Rightarrow -10y=-210 \Rightarrow y=21$

$3x+84=120 \Rightarrow x=12 \Rightarrow C(12,21)$

Vértice $D$: $\begin{cases} x=0 \\ 2x+6y=150 \end{cases} \Rightarrow 6y=150 \Rightarrow y=25 \Rightarrow D(0,25)$

Valoramos la función objetivo en cada uno de los vértices:

$N(0,9)=9$

$N(28,9)=37$

$N(12,21)=33$

$N(0,25)=25$

El número máximo de regalos se alcanza en el vértice $B(28,9)$.

La pastelería debe preparar 28 cajas del primer tipo y 9 del segundo, con lo que hace 37 regalos. En ellas se utilizan

$3\cdot 28+4\cdot 9=84+36=120 \text{ piononos} \qquad 2\cdot 28+6\cdot 9=56+54=110 \text{ pestiños}$

Se gastan los 120 piononos y 110 de los 150 pestiños, así que sobran 40 pestiños.