Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Se desea estimar la proporción de donantes de sangre en una universidad. Para ello se toma una muestra aleatoria de 400 personas de esa universidad, resultando que 64 son donantes de sangre.

a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98 %, para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre. (1,25 puntos)

b) Si el nivel de confianza es del 95 %, calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza. (1,25 puntos)

$\textbf{a) Calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 98 \%, para estimar la proporción poblacional de donantes de sangre. (1,25 puntos)}$

La proporción muestral es

$\hat{p}=\dfrac{64}{400}=0{,}16 \qquad \hat{q}=1-0{,}16=0{,}84$

Para un nivel de confianza del 98 % se tiene $\alpha/2=0{,}01$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}99 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}33$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=2{,}33\sqrt{\dfrac{0{,}16\cdot 0{,}84}{400}} =2{,}33\cdot 0{,}01833 =0{,}0427$

$IC_{98\%}=(0{,}16-0{,}0427,\ 0{,}16+0{,}0427)=(0{,}1173,\ 0{,}2027)$



Con una confianza del 98 %, la proporción de donantes de sangre de esa universidad está entre el 11,73 % y el 20,27 %.

$\textbf{b) Si el nivel de confianza es del 95 \%, calcule el error máximo cometido. Razone si este error será mayor o menor al disminuir el nivel de confianza. (1,25 puntos)}$

Para un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$

El error máximo, con la misma muestra, es

$E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}16\cdot 0{,}84}{400}} =1{,}96\cdot 0{,}01833 =0{,}0359$

El error máximo cometido con un nivel de confianza del 95 % es $0{,}0359$.

En la expresión del error,

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$

la proporción muestral y el tamaño de la muestra no cambian, así que el error solo depende de $z_{\alpha/2}$. Al disminuir el nivel de confianza, $\alpha$ aumenta, el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se hace menor —se ha pasado de $2{,}33$ a $1{,}96$— y con él disminuye el error.

Al disminuir el nivel de confianza el error será menor: el intervalo es más estrecho, pero la garantía de que contenga a la proporción real también es más baja.