Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

a) Una población está dividida en cuatro estratos de 250, 300, 400 y 350 individuos. Realizado un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 20 individuos del primer estrato. Determine el tamaño de la población, el tamaño de la muestra y el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos. (1,25 puntos)

b) En un centro de enseñanza la calificación media de los estudiantes fue de 6,4 puntos con una desviación típica de 0,7 puntos. Se seleccionó aleatoriamente una muestra de 49 estudiantes.

b.1) Indique la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño 49. (0,25 puntos)

b.2) Calcule la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre 6,3 y 6,8 puntos. (1 punto)

$\textbf{a) Una población está dividida en cuatro estratos de 250, 300, 400 y 350 individuos. Realizado un muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 20 individuos del primer estrato. Determine el tamaño de la población, el tamaño de la muestra y el número de individuos seleccionados de los tres restantes estratos. (1,25 puntos)}$

El tamaño de la población es la suma de los cuatro estratos.

$N=250+300+400+350=1\,300$

En un muestreo estratificado con afijación proporcional la fracción de muestreo es la misma en todos los estratos.

$f=\dfrac{n_i}{N_i}=\dfrac{n}{N}$

Con los datos del primer estrato:

$f=\dfrac{20}{250}=\dfrac{2}{25}=0{,}08$

El tamaño de la muestra es

$n=N\cdot f=1\,300\cdot 0{,}08=104$

Y el reparto entre los estratos restantes:

$\text{Estrato}$	$\text{Tamaño } N_i$	$n_i=0{,}08\cdot N_i$
1.º	250	20
2.º	300	24
3.º	400	32
4.º	350	28
Total	$1\,300$	104

La población tiene 1 300 individuos, la muestra 104, y se seleccionan 24, 32 y 28 individuos del segundo, tercer y cuarto estrato respectivamente.

$\textbf{b.1) Indique la distribución que sigue la media de las muestras de tamaño 49. (0,25 puntos)}$

Para muestras de tamaño $n\ge 30$, el teorema central del límite asegura que la media muestral sigue una distribución normal

$\bar{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Con $\mu=6{,}4$, $\sigma=0{,}7$ y $n=49$:

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{0{,}7}{\sqrt{49}}=\dfrac{0{,}7}{7}=0{,}1$

La media de las muestras de tamaño 49 sigue una distribución $N(6{,}4\,;\,0{,}1)$.

$\textbf{b.2) Calcule la probabilidad de que la media de las calificaciones de los estudiantes de una de esas muestras esté comprendida entre 6,3 y 6,8 puntos. (1 punto)}$

Tipificamos la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$.

$P(6{,}3<\bar{X}<6{,}8) =P\left(\dfrac{6{,}3-6{,}4}{0{,}1}<Z<\dfrac{6{,}8-6{,}4}{0{,}1}\right) =P(-1<Z<4)$



$P(-1<Z<4)=P(Z<4)-P(Z<-1)=P(Z<4)-\left[1-P(Z<1)\right]$

El valor $z=4$ queda fuera de la tabla, donde ya $P(Z<4)\approx 1$, así que

$P(-1<Z<4)\approx 1-\left(1-0{,}8413\right)=0{,}8413$

La probabilidad de que la media de las calificaciones de la muestra esté entre 6,3 y 6,8 puntos es $0{,}8413$.