Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Disponemos de una moneda trucada en la que la probabilidad de obtener cara, al lanzarla, es el doble de la de obtener cruz.

a) Halle la probabilidad de que, al lanzar la moneda, se obtenga cara. (0,5 puntos)

b) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga una cara y una cruz sin importar el orden. (0,75 puntos)

c) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga al menos una cara. (0,5 puntos)

d) Si al lanzar la moneda dos veces observamos que ha salido al menos una cara, halle la probabilidad de que se obtengan dos caras. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Halle la probabilidad de que, al lanzar la moneda, se obtenga cara. (0,5 puntos)}$

Nombramos los sucesos $C\equiv$ obtener cara y $X\equiv$ obtener cruz. Son sucesos contrarios, luego sus probabilidades suman $1$, y el enunciado dice que la primera es el doble de la segunda.

$\begin{cases} P(C)+P(X)=1 \\ P(C)=2P(X) \end{cases}$

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:

$2P(X)+P(X)=1 \Rightarrow 3P(X)=1 \Rightarrow P(X)=\dfrac{1}{3}$

$P(C)=2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

La probabilidad de obtener cara es $\dfrac{2}{3}$.

$\textbf{b) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga una cara y una cruz sin importar el orden. (0,75 puntos)}$

Los dos lanzamientos son independientes, porque el resultado del primero no altera la moneda. Hacemos el diagrama de árbol.



Obtener una cara y una cruz sin importar el orden son dos ramas incompatibles: cara-cruz y cruz-cara.

$P(\text{una cara y una cruz})=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2}{3} =\dfrac{2}{9}+\dfrac{2}{9}=\dfrac{4}{9}\approx 0{,}4444$

La probabilidad pedida es $\dfrac{4}{9}\approx 0{,}4444$.

$\textbf{c) Halle la probabilidad de que, al lanzar dos veces la moneda, se obtenga al menos una cara. (0,5 puntos)}$

El suceso contrario de «al menos una cara» es «ninguna cara», es decir, dos cruces.

$P(\text{al menos una cara})=1-P(XX)=1-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{3} =1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}\approx 0{,}8889$

La probabilidad de obtener al menos una cara es $\dfrac{8}{9}\approx 0{,}8889$.

$\textbf{d) Si al lanzar la moneda dos veces observamos que ha salido al menos una cara, halle la probabilidad de que se obtengan dos caras. (0,75 puntos)}$

Es una probabilidad condicionada. Como el suceso «dos caras» está contenido en el suceso «al menos una cara», su intersección es «dos caras».

$P(CC/\text{al menos una cara})=\dfrac{P(CC)}{P(\text{al menos una cara})} =\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2}{3}}{\dfrac{8}{9}} =\dfrac{\dfrac{4}{9}}{\dfrac{8}{9}}=\dfrac{1}{2}$

Sabiendo que ha salido al menos una cara, la probabilidad de que se obtengan dos caras es $\dfrac{1}{2}$.