Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función $v(t)$ nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo $t$, medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función $v(t)$ se conoce que su variación instantánea es

$v'(t)=t^2-5t+6, \qquad t\in[0,6]$

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $v$. (0,75 puntos)

b) Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que $v(0)=10$, halle la función $v$. (0,75 puntos)

c) Si un inversor compró 3000 de estas acciones en el instante $t=2$ y posteriormente las vendió en el instante $t=4$, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión. (0,5 puntos)

d) ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{v}\textbf{. (0,75 puntos)}$

La monotonía de $v$ la da el signo de su derivada, que es el dato del enunciado. Igualamos a cero.

$v'(t)=t^2-5t+6=0 \Rightarrow t=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\dfrac{5\pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=2 \\ t=3 \end{cases}$

Los dos valores pertenecen al intervalo $[0,6]$. Estudiamos el signo de $v'(t)=(t-2)(t-3)$.



$\begin{cases} v'(0)=6>0 \\ v'(2{,}5)=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25<0 \\ v'(4)=16-20+6=2>0 \end{cases}$

El valor de la acción crece en $(0,2)$, decrece en $(2,3)$ y vuelve a crecer en $(3,6)$.

$\textbf{b) Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que } \boldsymbol{v(0)=10}\textbf{, halle la función } \boldsymbol{v}\textbf{. (0,75 puntos)}$

La función $v$ es una primitiva de $v'$, así que integramos.

$v(t)=\int\left(t^2-5t+6\right)dt=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{5t^2}{2}+6t+C$

La constante se determina con la condición inicial.

$v(0)=10 \Rightarrow C=10$

La función pedida es

$v(t)=\dfrac{t^3}{3}-\dfrac{5t^2}{2}+6t+10,\qquad t\in[0,6]$

$\textbf{c) Si un inversor compró 3000 de estas acciones en el instante } \boldsymbol{t=2}\textbf{ y posteriormente las vendió en el instante } \boldsymbol{t=4}\textbf{, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión. (0,5 puntos)}$

Calculamos el valor de una acción en los dos instantes.

$v(2)=\dfrac{8}{3}-10+12+10=\dfrac{44}{3}\approx 14{,}67$

$v(4)=\dfrac{64}{3}-40+24+10=\dfrac{46}{3}\approx 15{,}33$

La variación por acción es

$v(4)-v(2)=\dfrac{46}{3}-\dfrac{44}{3}=\dfrac{2}{3}$

Y con las 3000 acciones:

$3\,000\cdot\dfrac{2}{3}=2\,000$

El inversor obtuvo una ganancia de $2\,000$ euros.

$\textbf{d) ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta. (0,5 puntos)}$

La ganancia por acción es la diferencia entre el valor de venta y el de compra, así que interesa comprar cuando la acción vale lo menos posible y vender después, cuando valga lo más posible.

Por el apartado a), los candidatos son los extremos del intervalo y los puntos críticos.

$v(0)=10 \qquad v(2)=\dfrac{44}{3}\approx 14{,}67 \qquad v(3)=\dfrac{29}{2}=14{,}5 \qquad v(6)=72-90+36+10=28$

El mínimo absoluto es $v(0)=10$ y el máximo absoluto es $v(6)=28$; además la compra ocurre antes que la venta, luego el orden es posible.

El inversor debería haber comprado en el instante $t=0$, a la apertura del mercado, y vendido en el instante $t=6$, con lo que la ganancia por acción habría sido de $18$ euros y, con 3000 acciones, de $54\,000$ euros.