Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices

$A=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & -1 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$

a) Calcule los valores del parámetro $a$ para los que tanto $A$ como $B$ admitan inversa. (1 punto)

b) Para $a=1$, halle una matriz $X$ que satisfaga $A\cdot X\cdot B=C$. (1,5 puntos)

$\textbf{a) Calcule los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para los que tanto } \boldsymbol{A}\textbf{ como } \boldsymbol{B}\textbf{ admitan inversa. (1 punto)}$

Una matriz cuadrada admite inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Hay que imponer las dos condiciones a la vez.

Calculamos $|A|$ desarrollando por la primera columna.

$|A|= \begin{vmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} =a\cdot\begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =a(a-2)$

$a(a-2)\neq 0 \Rightarrow a\neq 0 \text{ y } a\neq 2$

Calculamos $|B|$.

$|B|=\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ a & -1 \end{vmatrix}=-2+a=a-2$

$a-2\neq 0 \Rightarrow a\neq 2$

Las dos matrices admiten inversa a la vez cuando $a\neq 0$ y $a\neq 2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{, halle una matriz } \boldsymbol{X}\textbf{ que satisfaga } \boldsymbol{A\cdot X\cdot B=C}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Como $a=1$ no anula ninguno de los dos determinantes, ambas matrices tienen inversa. Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$.

$A\cdot X\cdot B=C \Rightarrow A^{-1}\cdot A\cdot X\cdot B\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1} \Rightarrow X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

Las matrices para $a=1$ son

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad |A|=1\cdot(1-2)=-1, \qquad |B|=1-2=-1$

Calculamos $A^{-1}$ por el método de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \left(\operatorname{Adj}(A)\right)^{t}= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Para la matriz $2\times 2$ basta intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar de signo los de la secundaria.

$B^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$

Multiplicamos por orden. Primero $A^{-1}\cdot C$:

$A^{-1}\cdot C= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$

Y ahora el resultado por $B^{-1}$:

$X= \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 4 & -5 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 4 & -5 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$, de dimensión $3\times 2$, como exige el producto $A\cdot X\cdot B$.