Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Se desea estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. Para ello, se selecciona una muestra aleatoria de 300 viajeros, obteniéndose que 12 de ellos viajan con su mascota.

a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97 %, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. (1,25 puntos)

b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95 %, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2 %? (1,25 puntos)

$\textbf{a) Obtenga un intervalo, con un nivel de confianza del 97 \%, para estimar la proporción de personas que viajan en tren con su mascota. (1,25 puntos)}$

La proporción muestral es

$\hat{p}=\dfrac{12}{300}=0{,}04 \qquad \hat{q}=1-0{,}04=0{,}96$

Para un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha/2=0{,}015$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}985 \Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es

$\left(\hat{p}-z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}},\ \hat{p}+z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\right)$

Calculamos el error máximo admisible.

$E=2{,}17\sqrt{\dfrac{0{,}04\cdot 0{,}96}{300}} =2{,}17\cdot 0{,}011314 =0{,}0246$

$IC_{97\%}=(0{,}04-0{,}0246,\ 0{,}04+0{,}0246)=(0{,}0154,\ 0{,}0646)$



Con una confianza del 97 %, la proporción de viajeros que llevan mascota está entre el 1,54 % y el 6,46 %.

$\textbf{b) Manteniendo la misma proporción muestral y con un nivel de confianza del 95 \%, ¿cuántas personas que viajan en tren deberán seleccionarse aleatoriamente como mínimo para que la proporción muestral difiera de la proporción poblacional a lo sumo en un 2 \%? (1,25 puntos)}$

Que la proporción muestral no difiera de la poblacional en más de un 2 % significa que el error máximo admisible sea $E\le 0{,}02$.

Para un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha/2=0{,}025$ y

$P(Z\le z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$

Despejamos $n$ de la expresión del error.

$E=z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\le 0{,}02 \Rightarrow 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}04\cdot 0{,}96}{n}}\le 0{,}02$

$n\ge\left(\dfrac{1{,}96}{0{,}02}\right)^2\cdot 0{,}04\cdot 0{,}96 =9\,604\cdot 0{,}0384 =368{,}79$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número natural, hay que seleccionar como mínimo $369$ viajeros.