Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Dada la función

$f(x)=\dfrac{2x-6}{2-x}$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas. (0,75 puntos)

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos. (0,75 puntos)

c) Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función. (1 punto)

$\textbf{a) Estudie la continuidad y derivabilidad de dicha función. Calcule sus asíntotas. (0,75 puntos)}$

Es una función racional. Su dominio lo forman todos los números reales salvo los que anulan el denominador.

$2-x=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow \text{Dom } f=\mathbb{R}-\{2\}$

Las funciones racionales son continuas y derivables en todo su dominio, así que $f$ es continua y derivable en $\mathbb{R}-\{2\}$. En $x=2$ no es continua ni derivable, porque no está definida.

Asíntota vertical. Estudiamos el límite en el punto que no pertenece al dominio.

$\lim_{x\to 2}\dfrac{2x-6}{2-x}=\dfrac{-2}{0}=\infty$

La recta $x=2$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal $y=b$. Como el numerador y el denominador tienen el mismo grado, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

$b=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x-6}{2-x}=\dfrac{2}{-1}=-2$

La recta $y=-2$ es asíntota horizontal. Al existir asíntota horizontal, no hay asíntota oblicua.

$\textbf{b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la existencia de extremos relativos. (0,75 puntos)}$

Derivamos la función aplicando la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{2(2-x)-(2x-6)\cdot(-1)}{(2-x)^2} =\dfrac{4-2x+2x-6}{(2-x)^2} =\dfrac{-2}{(2-x)^2}$

El numerador es la constante $-2$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo, luego la derivada es negativa en todo el dominio y no se anula nunca.



La función decrece en $(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$ y no tiene extremos relativos, pues la derivada no se anula en ningún punto.

$\textbf{c) Halle los puntos de corte con los ejes de coordenadas y represente gráficamente la función. (1 punto)}$

Corte con el eje $OY$: hacemos $x=0$.

$f(0)=\dfrac{-6}{2}=-3 \Rightarrow (0,-3)$

Corte con el eje $OX$: hacemos $f(x)=0$, lo que exige anular el numerador.

$2x-6=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow (3,0)$

Para dibujarla conviene reescribir la función haciendo la división:

$f(x)=\dfrac{2x-6}{2-x}=-2+\dfrac{2}{x-2}$

Es una hipérbola de centro $(2,-2)$, con dos ramas decrecientes que se apoyan en las asíntotas $x=2$ e $y=-2$.