Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

resuelva la ecuación $A^2\cdot X+A^4=A$. (2,5 puntos)

$\textbf{Dada la matriz } \boldsymbol{A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}}\textbf{ resuelva la ecuación } \boldsymbol{A^2\cdot X+A^4=A}\textbf{. (2,5 puntos)}$

Comprobamos primero que $A$ tiene inversa, pues es lo que permite despejar $X$.

$|A|= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot(0+4)+0=-9\neq 0$

Como $|A|\neq 0$, también $|A^2|=|A|^2=81\neq 0$ y existe $(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$. Despejamos $X$ multiplicando por la izquierda por $(A^2)^{-1}$.

$A^2\cdot X+A^4=A \Rightarrow A^2\cdot X=A-A^4$

$X=(A^2)^{-1}\cdot(A-A^4)=(A^2)^{-1}\cdot A-(A^2)^{-1}\cdot A^4$

Como $(A^2)^{-1}\cdot A=A^{-1}$ y $(A^2)^{-1}\cdot A^4=A^2$, la expresión se simplifica mucho:

$X=A^{-1}-A^2$

Calculamos $A^{-1}$ por el método de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}(A)= \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 \\ -2 & 1 & -4 \\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \left(\operatorname{Adj}(A)\right)^{t}= \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{-9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Calculamos ahora $A^2$.

$A^2= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}$

Restamos las dos matrices.

$X=\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 4 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} 1-9 & 2-0 & -4-36 \\ 4+36 & -1-9 & 2-0 \\ 2+36 & 4+36 & 1-9 \end{pmatrix} =\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -8 & 2 & -40 \\ 40 & -10 & 2 \\ 38 & 40 & -8 \end{pmatrix}$

La solución de la ecuación matricial es

$X=\dfrac{1}{9} \begin{pmatrix} -8 & 2 & -40 \\ 40 & -10 & 2 \\ 38 & 40 & -8 \end{pmatrix}$