Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

a) Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos $E_1$, $E_2$, $E_3$ y $E_4$. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de $E_1$ y 30 de $E_2$. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de $E_3$ y 100 de $E_4$. Sabiendo que el estrato $E_1$ tiene 500 individuos y que el $E_3$ tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato. (1,5 puntos)

b) Dada la población $\{-3,-1,2,5,7\}$, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales. (1 punto)

$\textbf{a) Se realizan dos muestreos aleatorios estratificados con afijación proporcional para una población dividida en cuatro estratos } \boldsymbol{E_1}\textbf{, } \boldsymbol{E_2}\textbf{, } \boldsymbol{E_3}\textbf{ y } \boldsymbol{E_4}\textbf{. En la primera muestra se han seleccionado 25 individuos de } \boldsymbol{E_1}\textbf{ y 30 de } \boldsymbol{E_2}\textbf{. En la segunda muestra se han seleccionado 80 individuos de } \boldsymbol{E_3}\textbf{ y 100 de } \boldsymbol{E_4}\textbf{. Sabiendo que el estrato } \boldsymbol{E_1}\textbf{ tiene 500 individuos y que el } \boldsymbol{E_3}\textbf{ tiene 400, determine el tamaño de cada estrato de la población y el tamaño de las muestras en cada estrato. (1,5 puntos)}$

En un muestreo estratificado con afijación proporcional, la fracción de muestreo

$f=\dfrac{n_i}{N_i}=\dfrac{n}{N}$

es la misma en todos los estratos, donde $N_i$ es el tamaño del estrato $i$ y $n_i$ el número de individuos que de él se eligen.

Con los datos de la primera muestra, en la que se conocen a la vez $n_1=25$ y $N_1=500$:

$f_1=\dfrac{25}{500}=\dfrac{1}{20} \Rightarrow N_2=\dfrac{n_2}{f_1}=30\cdot 20=600$

Con los datos de la segunda muestra, en la que se conocen $n_3=80$ y $N_3=400$:

$f_2=\dfrac{80}{400}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow N_4=\dfrac{n_4}{f_2}=100\cdot 5=500$

El tamaño de la población es

$N=500+600+400+500=2\,000$

El tamaño de cada muestra se obtiene aplicando su fracción de muestreo al total.

$n^{(1)}=2\,000\cdot\dfrac{1}{20}=100 \qquad n^{(2)}=2\,000\cdot\dfrac{1}{5}=400$

Repartimos cada muestra entre los cuatro estratos.

$\text{Estrato}$	$\text{Tamaño } N_i$	$\text{1.ª muestra}$	$\text{2.ª muestra}$
$E_1$	500	25	100
$E_2$	600	30	120
$E_3$	400	20	80
$E_4$	500	25	100
Total	$2\,000$	100	400

La población tiene 2 000 individuos, repartidos en estratos de 500, 600, 400 y 500. La primera muestra es de 100 individuos (25, 30, 20 y 25) y la segunda de 400 (100, 120, 80 y 100).

$\textbf{b) Dada la población } \boldsymbol{\{-3,-1,2,5,7\}}\textbf{, se consideran todas las muestras posibles de tamaño 2 obtenidas mediante muestreo aleatorio simple. Calcule la media y la varianza de la distribución de las medias muestrales. (1 punto)}$

Calculamos primero los parámetros de la población.

$\mu=\dfrac{-3-1+2+5+7}{5}=\dfrac{10}{5}=2$

$\sigma^2=\dfrac{(-3-2)^2+(-1-2)^2+(2-2)^2+(5-2)^2+(7-2)^2}{5} =\dfrac{25+9+0+9+25}{5}=\dfrac{68}{5}=13{,}6$

En un muestreo aleatorio simple se extrae con reemplazamiento, así que con cinco elementos y muestras de tamaño 2 hay $5^2=25$ muestras posibles. Sus medias son:

$$	$-3$	$-1$	$2$	$5$	$7$
$-3$	$-3$	$-2$	$-0{,}5$	$1$	$2$
$-1$	$-2$	$-1$	$0{,}5$	$2$	$3$
$2$	$-0{,}5$	$0{,}5$	$2$	$3{,}5$	$4{,}5$
$5$	$1$	$2$	$3{,}5$	$5$	$6$
$7$	$2$	$3$	$4{,}5$	$6$	$7$

La distribución de las medias muestrales cumple

$\mu_{\bar{X}}=\mu \qquad\text{y}\qquad \sigma^2_{\bar{X}}=\dfrac{\sigma^2}{n}$

$\mu_{\bar{X}}=2 \qquad \sigma^2_{\bar{X}}=\dfrac{13{,}6}{2}=6{,}8$

Se comprueba sumando las 25 medias de la tabla, cuyo total es $50$ y da media $2$.

La media de la distribución de las medias muestrales es $2$ y su varianza $6{,}8$.