Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

La velocidad media del viento en la zona de Sierra Nevada, prevista para cierto día, viene dada por la función $v(t)$ expresada en $km/h$, donde $t$ es el tiempo expresado en horas:

$v(t)=\begin{cases} t^2-8t+60 & \text{si } 0\le t\le 10 \\[4pt] -t^2+32t-140 & \text{si } 10<t\le 24 \end{cases}$

a) Compruebe que la función $v$ es continua y derivable. (0,75 puntos)

b) Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos. (1 punto)

c) La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre $100$ y $140\ km/h$, y rojo para vientos de más de $140\ km/h$. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja? (0,75 puntos)

$\textbf{a) Compruebe que la función } \boldsymbol{v}\textbf{ es continua y derivable. (0,75 puntos)}$

Cada una de las dos ramas es una función polinómica, y las funciones polinómicas son continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es $t=10$, donde cambia la expresión.

Para que $v$ sea continua en $t=10$ los dos límites laterales y el valor de la función deben coincidir.

$\lim_{t\to 10^-}v(t)=\lim_{t\to 10^-}\left(t^2-8t+60\right)=100-80+60=80$

$\lim_{t\to 10^+}v(t)=\lim_{t\to 10^+}\left(-t^2+32t-140\right)=-100+320-140=80$

Como $v(10)=80$ y los dos límites laterales valen $80$, la función es continua en $t=10$ y, por tanto, en todo el intervalo $[0,24]$.

Para la derivabilidad calculamos las derivadas laterales.

$v'(t)= \begin{cases} 2t-8 & \text{si } 0\le t< 10 \\ -2t+32 & \text{si } 10< t\le 24 \end{cases}$

$v'(10^-)=2\cdot 10-8=12 \qquad v'(10^+)=-2\cdot 10+32=12$

Las dos derivadas laterales coinciden, luego $v$ es derivable en $t=10$ y, por tanto, en todo el intervalo.

$\textbf{b) Represente gráficamente la función, estudiando previamente la monotonía y calculando los extremos absolutos. (1 punto)}$

Igualamos la derivada a cero en busca de los puntos críticos.

$2t-8=0 \Rightarrow t=4 \qquad -2t+32=0 \Rightarrow t=16$

Los dos puntos pertenecen a la rama en la que se han obtenido. Estudiamos el signo de la derivada.



$\begin{cases} v'(2)=-4<0 \\ v'(8)=8>0 \\ v'(20)=-8<0 \end{cases}$

La función decrece en $(0,4)$, crece en $(4,16)$ y decrece en $(16,24)$.

Como pasa de decrecer a crecer, en $t=4$ hay un mínimo relativo, y como pasa de crecer a decrecer, en $t=16$ hay un máximo relativo.

Para los extremos absolutos comparamos el valor de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

$v(0)=60 \qquad v(4)=16-32+60=44 \qquad v(16)=-256+512-140=116 \qquad v(24)=-576+768-140=52$

El mínimo absoluto es $44\ km/h$ y se alcanza a las 4 horas; el máximo absoluto es $116\ km/h$ y se alcanza a las 16 horas.

Con toda la información obtenida representamos la función.



$\textbf{c) La Agencia Estatal de Meteorología emite avisos de alerta por vientos siguiendo el código de colores: naranja para vientos entre } \boldsymbol{100}\textbf{ y } \boldsymbol{140\ km/h}\textbf{, y rojo para vientos de más de } \boldsymbol{140\ km/h}\textbf{. Según la previsión, indique si se debe emitir alguna alerta naranja en Sierra Nevada ese día y durante qué horas estaría activa. ¿Se emitiría alerta roja? (0,75 puntos)}$

La velocidad máxima prevista es $116\ km/h$, calculada en el apartado anterior. Como $116<140$, en ningún momento del día se superan los $140\ km/h$ y no se emitiría alerta roja.

Para la alerta naranja resolvemos la ecuación $v(t)=100$. En la primera rama el valor máximo es $v(10)=80<100$, así que no puede alcanzarse; basta con estudiar la segunda.

$-t^2+32t-140=100 \Rightarrow t^2-32t+240=0$

$t=\dfrac{32\pm\sqrt{32^2-4\cdot 240}}{2} =\dfrac{32\pm\sqrt{1\,024-960}}{2} =\dfrac{32\pm 8}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=12 \\ t=20 \end{cases}$

Entre $t=12$ y $t=20$ la velocidad del viento es mayor o igual que $100\ km/h$, pues en ese tramo la parábola queda por encima de la recta $v=100$ (por ejemplo, $v(16)=116>100$).

Se debe emitir alerta naranja desde las 12 hasta las 20 horas, es decir, durante 8 horas. No se emitiría alerta roja.