Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea la función derivable $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

$f(x) = \begin{cases} e^{2ax - 4b} & \text{si } x < 1 \\[2ex] 1 - x\ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$

($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a) Determine los valores de $a$ y $b$. [1,75 puntos]

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. [1,75 puntos]}$

El enunciado afirma que la función es derivable en todo $\mathbb{R}$. Cada rama lo es en el interior de su intervalo, así que la información está en el punto de empalme $x=1$: allí la función ha de ser primero continua y después derivable, y cada condición da una ecuación.

$f(1)=1-1\cdot\ln1=1;\qquad \displaystyle\lim_{x\to1^{-}}e^{2ax-4b}=e^{2a-4b}$

$e^{2a-4b}=1\Rightarrow 2a-4b=0$

Derivamos ahora cada rama e igualamos las derivadas laterales en $x=1$:

$f'(x)=\begin{cases}2ae^{2ax-4b} & \text{si } x<1\\ -\left(\ln x+1\right) & \text{si } x>1\end{cases}$

$f'(1^{-})=2ae^{2a-4b}=2a\cdot1=2a;\qquad f'(1^{+})=-\left(\ln1+1\right)=-1$

$2a=-1\Rightarrow a=-\dfrac{1}{2}$

Sustituimos en la primera ecuación:

$2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-4b=0\Rightarrow -1=4b\Rightarrow b=-\dfrac{1}{4}$

Los valores pedidos son $a=-\dfrac{1}{2}$ y $b=-\dfrac{1}{4}$.

$\textbf{b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La abscisa $x=2$ cae en la segunda rama, que no depende de los parámetros.

$f(2)=1-2\ln2$

$f'(2)=-\left(\ln2+1\right)$

Escribimos la ecuación punto-pendiente y desarrollamos:

$y-\left(1-2\ln2\right)=-\left(1+\ln2\right)\left(x-2\right)$

$y=-\left(1+\ln2\right)x+2+2\ln2+1-2\ln2$

La recta tangente en $x=2$ es $y=-\left(1+\ln2\right)x+3$, cuya pendiente vale aproximadamente $-1{,}69$.