Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Considere el plano $\pi \equiv x - y + az = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = 1 \\ 3x - 2y + z = 0 \end{cases}$

a) Halle $a$ sabiendo que $\pi$ es paralelo a $r$. [1,5 puntos]

b) Determine el plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1, 2, 3)$. [1 punto]

$\textbf{a) Halle } \boldsymbol{a}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{\pi}\textbf{ es paralelo a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano. Necesitamos, pues, el director de $r$, que se obtiene como producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen.

$\vec v_r=(4,-3,4)\times(3,-2,1)=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 4 & -3 & 4\\ 3 & -2 & 1\end{vmatrix}=(5,8,1)$

$\vec n_{\pi}=(1,-1,a)$

$\vec v_r\cdot\vec n_{\pi}=5-8+a=0\Rightarrow a=3$

Falta comprobar que la recta no está contenida en el plano, en cuyo caso no sería paralela. Tomando $z=0$ en las ecuaciones de $r$ se obtiene el punto $R(-2,-3,0)$:

$-2-(-3)+3\cdot0=1\neq0$

El punto no pertenece al plano, luego el paralelismo es estricto.

El valor pedido es $a=3$.

$\textbf{b) Determine el plano perpendicular a } \boldsymbol{r}\textbf{ que pasa por el punto } \boldsymbol{P(1, 2, 3)}\textbf{. [1 punto]}$

Si el plano es perpendicular a la recta, el director de esta es un vector normal suyo, y ya lo tenemos calculado del apartado anterior.

$\sigma: 5x+8y+z+D=0$

Imponemos que pase por $P$:

$5\cdot1+8\cdot2+3+D=0\Rightarrow 24+D=0\Rightarrow D=-24$

El plano perpendicular a $r$ que pasa por $P$ es $5x+8y+z-24=0$.