Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones dado por $AX = B$ siendo

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ m & 4 & -2 \\ 0 & m + 2 & -3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 \\ 2m \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) Discuta el sistema según los valores de $m$. [1,5 puntos]

b) Para $m = -2$, ¿existe alguna solución con $z = 0$? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, empezando por anular el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}1 & -2 & 1\\ m & 4 & -2\\ 0 & m+2 & -3\end{vmatrix}=\left(2m-8\right)-6m+\left(m^{2}+2m\right)=m^{2}-2m-8$

$\left(m-4\right)\left(m+2\right)=0\Rightarrow \begin{cases}m=4\\ m=-2\end{cases}$

Si $m\neq4$ y $m\neq-2$, entonces $|A|\neq0$ y

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Si $m=4$, el menor $\begin{vmatrix}1 & -2\\ 4 & 4\end{vmatrix}=12\neq0$ da $\operatorname{ran}(A)=2$. Orlamos con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1 & -2 & 2\\ 4 & 4 & 8\\ 0 & 6 & 1\end{vmatrix}=12\neq0\Rightarrow \operatorname{ran}(A^{*})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

Si $m=-2$, la matriz ampliada queda

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 1 & 2\\ -2 & 4 & -2 & -4\\ 0 & 0 & -3 & 1\end{array}\right)$

La segunda fila es la primera multiplicada por $-2$, término independiente incluido, así que puede suprimirse. El menor $\begin{vmatrix}1 & 1\\ 0 & -3\end{vmatrix}=-3\neq0$ da

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado.

El sistema es compatible determinado para $m\neq4,-2$; incompatible para $m=4$, y compatible indeterminado para $m=-2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{m = -2}\textbf{, ¿existe alguna solución con } \boldsymbol{z = 0}\textbf{? En caso afirmativo, calcúlela. En caso negativo, justifique la respuesta. [1 punto]}$

Para $m=-2$ el sistema se reduce, tras eliminar la ecuación repetida, a

$\begin{cases}x-2y+z=2\\ -3z=1\end{cases}$

La segunda ecuación no contiene ni $x$ ni $y$, de modo que fija el valor de la tercera incógnita sin dejar ninguna libertad:

$z=-\dfrac{1}{3}$

Todas las soluciones del sistema tienen esa misma tercera coordenada, que no es nula.

No existe ninguna solución con $z=0$: la tercera ecuación obliga a que $z=-\dfrac{1}{3}$ en todas ellas.