Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule $\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}^{2}(x)\, dx$. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}^{2}(x)\, dx}\textbf{. [2,5 puntos]}$

El integrando lleva el cuadrado de un seno, que conviene rebajar de grado con la fórmula del ángulo doble antes de integrar por partes.

$\operatorname{sen}^{2}(x)=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}$

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}x\,dx-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}x\cos(2x)\,dx$

El primer sumando es inmediato:

$\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\pi}=\dfrac{\pi^{2}}{4}$

El segundo se resuelve por partes, con $u=x$ y $dv=\cos(2x)\,dx$:

$\begin{cases}u=x & du=dx\\ dv=\cos(2x)dx & v=\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\end{cases}$

$\displaystyle\int x\cos(2x)\,dx=\dfrac{x\operatorname{sen}(2x)}{2}-\int\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\,dx=\dfrac{x\operatorname{sen}(2x)}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{4}$

$\left[\dfrac{x\operatorname{sen}(2x)}{2}+\dfrac{\cos(2x)}{4}\right]_{0}^{\pi}=\left(0+\dfrac{1}{4}\right)-\left(0+\dfrac{1}{4}\right)=0$

El segundo sumando se anula, así que solo queda el primero:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx=\dfrac{\pi^{2}}{4}$

El valor de la integral es $\dfrac{\pi^{2}}{4}\approx2{,}47$.