Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = e^{x}(x^{2} - 5x + 6)$. Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y los puntos de inflexión de su gráfica. [2,5 puntos]

$\textbf{Considere la función } \boldsymbol{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}}\textbf{ dada por } \boldsymbol{f(x) = e^{x}(x^{2} - 5x + 6)}\textbf{. Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de } \boldsymbol{f}\textbf{ y los puntos de inflexión de su gráfica. [2,5 puntos]}$

La curvatura la decide el signo de la derivada segunda, así que derivamos dos veces con la regla del producto, sacando en cada paso factor común la exponencial.

$f'(x)=e^{x}\left(x^{2}-5x+6\right)+e^{x}\left(2x-5\right)=e^{x}\left(x^{2}-3x+1\right)$

$f''(x)=e^{x}\left(x^{2}-3x+1\right)+e^{x}\left(2x-3\right)=e^{x}\left(x^{2}-x-2\right)$

Factorizamos el trinomio para leer el signo de un vistazo:

$f''(x)=e^{x}\left(x-2\right)\left(x+1\right)$

$e^{x}\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0\Rightarrow \begin{cases}x=-1\\ x=2\end{cases}$

La exponencial es siempre positiva, de modo que el signo lo pone la parábola $(x-2)(x+1)$, que es negativa entre sus raíces y positiva fuera:



En los dos valores la derivada segunda cambia de signo, luego ambos son puntos de inflexión. Calculamos sus ordenadas:

$f(-1)=e^{-1}\left(1+5+6\right)=\dfrac{12}{e}\approx4{,}41$

$f(2)=e^{2}\left(4-10+6\right)=0$

La función es convexa en $\left(-\infty,-1\right)\cup\left(2,+\infty\right)$ y cóncava en $\left(-1,2\right)$, con puntos de inflexión en $\left(-1,\dfrac{12}{e}\right)$ y $(2,0)$.