Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sea $f$ la función dada por $f(x) = \dfrac{3x^{2} + 4}{(x - 2)^{2}}$ para $x \neq 2$.

a) Calcule $\displaystyle\int f(x)\, dx$. [2 puntos]

b) Calcule la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(3, 5)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int f(x)\, dx}\textbf{. [2 puntos]}$

El denominador es el cuadrado de $x-2$ y el numerador tiene el mismo grado, así que empezamos por la división entera y después descomponemos el resto en fracciones simples.

$3x^{2}+4=3\left(x-2\right)^{2}+\left(12x-8\right)$

$f(x)=3+\dfrac{12x-8}{(x-2)^{2}}$

Al ser la raíz doble, la descomposición lleva un término por cada potencia del factor:

$\dfrac{12x-8}{(x-2)^{2}}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{(x-2)^{2}}$

$12x-8=A(x-2)+B$

$x=2\Rightarrow 16=B;\qquad \text{coeficiente de } x:\ 12=A$

Integramos ya término a término:

$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int3\,dx+12\int\dfrac{dx}{x-2}+16\int\left(x-2\right)^{-2}dx$

$=3x+12\ln|x-2|-\dfrac{16}{x-2}+C$

$\textbf{b) Calcule la primitiva de } \boldsymbol{f}\textbf{ cuya gráfica pasa por el punto } \boldsymbol{(3, 5)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Entre todas las primitivas del apartado anterior hay que elegir la que cumple $F(3)=5$, lo que fija la constante.

$F(3)=9+12\ln1-\dfrac{16}{1}+C=9-16+C=-7+C$

$-7+C=5\Rightarrow C=12$

La primitiva pedida es $F(x)=3x+12\ln|x-2|-\dfrac{16}{x-2}+12$.