Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sea $f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = \dfrac{\operatorname{sen} x}{2 - \cos x}$.

a) Halle los extremos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2 puntos]

b) Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = \dfrac{\pi}{3}$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Halle los extremos absolutos de } \boldsymbol{f}\textbf{ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2 puntos]}$

El denominador $2-\cos x$ está siempre entre $1$ y $3$, luego no se anula y la función es continua y derivable en todo el intervalo cerrado $[0,2\pi]$. Por el teorema de Weierstrass los extremos absolutos existen, y hay que buscarlos entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$f'(x)=\dfrac{\cos x\left(2-\cos x\right)-\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}x}{\left(2-\cos x\right)^{2}}$

$=\dfrac{2\cos x-\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x}{\left(2-\cos x\right)^{2}}=\dfrac{2\cos x-1}{\left(2-\cos x\right)^{2}}$

El denominador es un cuadrado positivo, así que el signo lo pone el numerador:

$2\cos x-1=0\Rightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3},\ x=\dfrac{5\pi}{3}$



Calculamos el valor de la función en los dos puntos críticos y en los extremos del intervalo:

$f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2-\frac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3};\qquad f\!\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$f(0)=\dfrac{0}{2-1}=0;\qquad f(2\pi)=\dfrac{0}{2-1}=0$

Comparando los cuatro valores, el mayor es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y el menor $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

La función alcanza su máximo absoluto en $x=\dfrac{\pi}{3}$, donde vale $\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}577$, y su mínimo absoluto en $x=\dfrac{5\pi}{3}$, donde vale $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

$\textbf{b) Determine la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{ en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = \dfrac{\pi}{3}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La abscisa que se pide es precisamente uno de los puntos críticos, así que la derivada se anula allí y la tangente es horizontal.

$f'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{2\cdot\frac{1}{2}-1}{\left(2-\frac{1}{2}\right)^{2}}=0$

$y-\dfrac{\sqrt{3}}{3}=0\cdot\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\Rightarrow y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

La normal es perpendicular a ella. Como la tangente es horizontal, la normal no tiene pendiente definida: es la recta vertical que pasa por el punto.

La recta tangente es $y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ y la recta normal es $x=\dfrac{\pi}{3}$.