Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Siendo $a \neq 0$, considere las rectas

$r \equiv x - 1 = y - 2 = \dfrac{z - 1}{a}$ y $s \equiv \dfrac{x - 3}{-a} = \dfrac{y - 3}{-1} = \dfrac{z + 1}{2}$

a) Estudie la posición relativa de ambas rectas según los valores de $a$. [1,25 puntos]

b) Para $a = 2$, determine las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de $r$ y $s$ y es perpendicular a ambas. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de ambas rectas según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Leemos de cada ecuación continua un punto y un vector director.

$r:\ R(1,2,1),\ \vec v_r=(1,1,a);\qquad s:\ S(3,3,-1),\ \vec v_s=(-a,-1,2)$

Empezamos descartando el paralelismo. Si los directores fueran proporcionales, de las segundas coordenadas saldría la razón $-1$, y entonces la primera exigiría $a=1$ mientras que la tercera exigiría $a=-2$. Es imposible, así que las rectas nunca son paralelas y su rango es siempre $2$.

Para distinguir entre cortarse y cruzarse calculamos el producto mixto:

$\overrightarrow{RS}=(3,3,-1)-(1,2,1)=(2,1,-2)$

$\begin{vmatrix}2 & 1 & -2\\ 1 & 1 & a\\ -a & -1 & 2\end{vmatrix}=2(2+a)-(2+a^{2})-2(a-1)=4-a^{2}$

$4-a^{2}=0\Rightarrow a=\pm2$

Ambos valores cumplen la restricción $a\neq0$ del enunciado.

Si $a=2$ o $a=-2$, las rectas son coplanarias y, al no ser paralelas, se cortan. Para cualquier otro valor de $a$ (con $a\neq0$) el producto mixto no se anula y las rectas se cruzan.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 2}\textbf{, determine las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{ y es perpendicular a ambas. [1,25 puntos]}$











Con $a=2$ los directores son $\vec v_r=(1,1,2)$ y $\vec v_s=(-2,-1,2)$. Buscamos primero el punto común igualando las paramétricas de ambas rectas.

$\begin{cases}1+t=3-2\mu\\ 2+t=3-\mu\\ 1+2t=-1+2\mu\end{cases}$





De la segunda ecuación, $t=1-\mu$; llevándolo a la primera:

$1+1-\mu=3-2\mu\Rightarrow \mu=1\Rightarrow t=0$

$P(1,2,1)$

Comprobamos en la tercera ecuación, que aún no se ha usado: $1+0=-1+2$.

La recta buscada ha de tener dirección perpendicular a las dos, es decir, la del producto vectorial de los directores:

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 1 & 2\\ -2 & -1 & 2\end{vmatrix}=(4,-6,1)$

Comprobamos la perpendicularidad:

$\vec v_t\cdot\vec v_r=4-6+2=0;\qquad \vec v_t\cdot\vec v_s=-8+6+2=0$

La recta pedida es $t:\begin{cases}x=1+4\lambda\\ y=2-6\lambda\\ z=1+\lambda\end{cases}$, con $\lambda\in\mathbb{R}$.