Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Calcule $a > 0$ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función $f(x) = xe^{3x}$, el eje de abscisas y la recta $x = a$ vale $\dfrac{1}{9}$. [2,5 puntos]

$\textbf{Calcule } \boldsymbol{a > 0}\textbf{ sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x) = xe^{3x}}\textbf{, el eje de abscisas y la recta } \boldsymbol{x = a}\textbf{ vale } \boldsymbol{\dfrac{1}{9}}\textbf{. [2,5 puntos]}$

La función se anula únicamente en $x=0$ y es positiva para $x>0$, porque la exponencial nunca cambia de signo. La región queda, pues, limitada entre $x=0$ y $x=a$, y el área es la integral sin valor absoluto.

Calculamos primero una primitiva integrando por partes, con $u=x$ y $dv=e^{3x}dx$:

$\begin{cases}u=x & du=dx\\ dv=e^{3x}dx & v=\dfrac{e^{3x}}{3}\end{cases}$

$\displaystyle\int xe^{3x}\,dx=\dfrac{xe^{3x}}{3}-\int\dfrac{e^{3x}}{3}\,dx=\dfrac{xe^{3x}}{3}-\dfrac{e^{3x}}{9}=\dfrac{e^{3x}\left(3x-1\right)}{9}$

Aplicamos la regla de Barrow entre $0$ y $a$:

$\mathcal{A}=\left[\dfrac{e^{3x}\left(3x-1\right)}{9}\right]_{0}^{a}=\dfrac{e^{3a}\left(3a-1\right)}{9}-\dfrac{1\cdot(-1)}{9}$

$\mathcal{A}=\dfrac{e^{3a}\left(3a-1\right)+1}{9}$

Imponemos la condición del enunciado:

$\dfrac{e^{3a}\left(3a-1\right)+1}{9}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow e^{3a}\left(3a-1\right)=0$

Un producto se anula cuando lo hace uno de sus factores, y la exponencial no se anula nunca:

$3a-1=0\Rightarrow a=\dfrac{1}{3}$

El valor obtenido cumple la condición $a>0$ del enunciado.

El valor pedido es $a=\dfrac{1}{3}$.