Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^{2} - 2x - 3}{x^{2} - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

a) Estudie y halle las asíntotas de la gráfica de $f$. [1,25 puntos]

b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie y halle las asíntotas de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Antes de nada conviene factorizar numerador y denominador, porque comparten un factor y eso cambia por completo el estudio de las asíntotas.

$x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1);\qquad x^{2}-1=(x-1)(x+1)$

$f(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x-3}{x-1},\quad x\neq\pm1$

En $x=-1$ el factor común se simplifica, así que ahí no hay asíntota vertical sino una discontinuidad evitable:

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\dfrac{x-3}{x-1}=\dfrac{-4}{-2}=2$

En $x=1$ el denominador se anula y el numerador no:

$\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}\dfrac{x-3}{x-1}=\dfrac{-2}{0^{+}}=-\infty;\qquad \lim_{x\to1^{-}}\dfrac{x-3}{x-1}=+\infty$

luego $x=1$ es asíntota vertical. Estudiamos ahora el comportamiento en el infinito:

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x-3}{x-1}=1$

de modo que $y=1$ es asíntota horizontal en las dos ramas. Al haber asíntota horizontal, no puede haberla oblicua.

La gráfica de $f$ tiene la asíntota vertical $x=1$ y la asíntota horizontal $y=1$; en $x=-1$ solo hay una discontinuidad evitable.

$\textbf{b) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de } \boldsymbol{f}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Derivamos la expresión ya simplificada, que es mucho más cómoda:

$f'(x)=\dfrac{(x-1)-(x-3)}{(x-1)^{2}}=\dfrac{2}{(x-1)^{2}}$

El numerador es la constante positiva $2$ y el denominador está elevado al cuadrado, luego la derivada es positiva en todo punto donde está definida. No hay ningún valor que la anule, así que la función no tiene extremos relativos.

La función es creciente en todo su dominio, $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$, y no decrece en ningún intervalo.