Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Considere las rectas $r \equiv \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = 1 \\ z = -3 - \lambda \end{cases}$ y $s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$

a) Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. [1,25 puntos]

b) Halle la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie la posición relativa de } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Obtenemos un punto y un director de cada recta. El de $s$ es el producto vectorial de los normales de los dos planos que la definen.

$r:\ R(3,1,-3),\ \vec v_r=(1,0,-1)$

$\vec v_s=(1,1,0)\times(0,0,1)=(1,-1,0)$

Tomando $x=0$ en las ecuaciones de $s$ se obtiene $y=1$ y $z=0$:

$s:\ S(0,1,0),\ \vec v_s=(1,-1,0)$

Los directores no son proporcionales, luego las rectas no son paralelas. Para distinguir entre cortarse y cruzarse calculamos el producto mixto con el vector que une los dos puntos:

$\overrightarrow{RS}=(0,1,0)-(3,1,-3)=(-3,0,3)$

$\begin{vmatrix}-3 & 0 & 3\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{vmatrix}=0$

El determinante se anula, así que las rectas son coplanarias y, al no ser paralelas, se cortan. Hallamos el punto: la tercera coordenada de $r$ debe ser nula, pues todos los puntos de $s$ tienen $z=0$.

$-3-\lambda=0\Rightarrow \lambda=-3\Rightarrow (0,1,0)$

Ese punto cumple $x+y=1$, luego pertenece también a $s$.

Las rectas $r$ y $s$ se cortan en el punto $P(0,1,0)$.

$\textbf{b) Halle la recta que corta perpendicularmente a } \boldsymbol{r}\textbf{ y a } \boldsymbol{s}\textbf{. [1,25 puntos]}$











Como las dos rectas se cortan, la recta buscada ha de pasar por el punto de corte $P$: es el único punto común, y desde cualquier otro no se podría cortar a las dos. Su dirección ha de ser perpendicular a los dos directores, es decir, su producto vectorial.

$\vec v_t=\vec v_r\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0\end{vmatrix}$





$\vec v_t=(-1,-1,-1)$

Cambiamos el signo para simplificar, que no altera la dirección:

$\vec v_t=(1,1,1)$

Comprobamos la perpendicularidad con ambas rectas:

$\vec v_t\cdot\vec v_r=1+0-1=0;\qquad \vec v_t\cdot\vec v_s=1-1+0=0$

La recta pedida es $t:\begin{cases}x=\mu\\ y=1+\mu\\ z=\mu\end{cases}$, con $\mu\in\mathbb{R}$.