Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una empresa de mensajería opera en tres rutas distintas A, B y C. Semanalmente hace un total de 70 viajes, y el número de viajes por la ruta B es igual a la suma de los viajes por las rutas A y C.

a) Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razone la respuesta. [1,25 puntos]

b) Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razone la respuesta. [1,25 puntos]}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al número semanal de viajes por las rutas A, B y C. Las dos condiciones del enunciado común son:

$\begin{cases}x+y+z=70\\ y=x+z\end{cases}$

Sustituyendo la segunda en la primera se obtiene ya el número de viajes por la ruta B:

$y+y=70\Rightarrow y=35;\qquad x+z=35$

La condición del apartado a) dice que $2(x+z)=70$, es decir, $x+z=35$, que es exactamente lo que acabamos de deducir. La nueva ecuación es combinación lineal de las anteriores y no añade información: el sistema de tres ecuaciones tiene rango $2$ tanto en la matriz de coeficientes como en la ampliada, con tres incógnitas, luego es compatible indeterminado.

No se puede deducir el número de viajes por cada ruta. Solo queda determinada la ruta B, con $35$ viajes; para A y C hay infinitas posibilidades, las de la forma $x=\lambda$ y $z=35-\lambda$.

$\textbf{b) Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta? [1,25 puntos]}$

Esta condición sí es independiente de las anteriores, porque relaciona $z$ con $y$ y no con la suma $x+z$.

$2z=y-5$

Como ya sabemos que $y=35$:

$2z=35-5=30\Rightarrow z=15$

$x=35-z=35-15=20$

Comprobamos las tres condiciones: el total es $20+35+15=70$; la ruta B iguala a la suma de las otras dos, $35=20+15$, y el doble de C es $30=35-5$.

La empresa hace $20$ viajes por la ruta A, $35$ por la ruta B y $15$ por la ruta C.