Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f$ definida por $f(x) = \dfrac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ (para $x \neq -1$, $x \neq 1$). Halle una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(2, 4)$. [2,5 puntos]

$\textbf{Considere la función } \boldsymbol{f}\textbf{ definida por } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}}\textbf{ (para } \boldsymbol{x \neq -1}\textbf{, } \boldsymbol{x \neq 1}\textbf{). Halle una primitiva de } \boldsymbol{f}\textbf{ cuya gráfica pase por el punto } \boldsymbol{(2, 4)}\textbf{. [2,5 puntos]}$

Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que empezamos por la división entera y después descomponemos el resto en fracciones simples.

$x^{2}+1=\left(x^{2}-1\right)+2\Rightarrow f(x)=1+\dfrac{2}{x^{2}-1}$

$\dfrac{2}{x^{2}-1}=\dfrac{2}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$

$2=A(x+1)+B(x-1)$

$x=1\Rightarrow 2=2A\Rightarrow A=1;\qquad x=-1\Rightarrow 2=-2B\Rightarrow B=-1$

Integramos ya término a término:

$\displaystyle\int f(x)\,dx=\int dx+\int\dfrac{dx}{x-1}-\int\dfrac{dx}{x+1}$

$F(x)=x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+C$

Imponemos que la gráfica pase por $(2,4)$:

$F(2)=2+\ln1-\ln3+C=2-\ln3+C$

$2-\ln3+C=4\Rightarrow C=2+\ln3$

La primitiva pedida es $F(x)=x+\ln|x-1|-\ln|x+1|+2+\ln3$, que también puede escribirse como $F(x)=x+\ln\left|\dfrac{3(x-1)}{x+1}\right|+2$.