Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2021

Considere la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

$f(x) = 1 + \displaystyle\int_{0}^{x} t e^{t}\, dt.$

Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2,5 puntos]

$\textbf{Determine los intervalos de concavidad y de convexidad de } \boldsymbol{f}\textbf{ y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [2,5 puntos]}$

La curvatura la decide el signo de la derivada segunda. La primera derivada la da el teorema fundamental del cálculo sin necesidad de integrar, porque el integrando es continuo.

$f'(x)=xe^{x}$

$f''(x)=e^{x}+xe^{x}=e^{x}\left(1+x\right)$

La exponencial es siempre positiva, así que el signo lo pone el paréntesis:

$e^{x}\left(1+x\right)=0\Rightarrow x=-1$



La función es cóncava donde $f''<0$ y convexa donde $f''>0$, de modo que el cambio de curvatura se produce en $x=-1$ y ahí hay un punto de inflexión. Para dar su ordenada sí hay que integrar, esta vez por partes con $u=t$ y $dv=e^{t}dt$:

$\displaystyle\int te^{t}\,dt=te^{t}-\int e^{t}\,dt=e^{t}\left(t-1\right)$

$\displaystyle\int_{0}^{-1}te^{t}\,dt=\left[e^{t}\left(t-1\right)\right]_{0}^{-1}=-\dfrac{2}{e}-\left(-1\right)=1-\dfrac{2}{e}$

$f(-1)=1+1-\dfrac{2}{e}=2-\dfrac{2}{e}$

La función es cóncava en $\left(-\infty,-1\right)$ y convexa en $\left(-1,+\infty\right)$, con un único punto de inflexión en $\left(-1,\;2-\dfrac{2}{e}\right)\approx(-1;\,1{,}26)$.